Question

Помогите!!! Дано уравнение: 6cos^2(x)+13sin(x)=12 Вопросы: 1) Какую замену переменных надо выполнить, чтобы привести уравнение к квадратному? 2)Решите уравнение 3) Укажите его все частные решения( пожалуйста объясните что это)

Answer 1

6(1-sin^2x)+13sinx-12=0

sinx=t

6-6t^2+13t-12=0

-6t^2+13t-6=0

D=169-144=25

t1=(-13+5)/(-12)=-8/(-12)=2/3

t2=(-13-5)/(-12)=1.5-не подходит так как синус не больше 1

sinx=2/3

x = (-1)^k * arcsin(2/3) + pik, k ∈ Z

Answer 2

Конечно, помогу! Для решения данного уравнения нам потребуется выполнить замену переменных, чтобы привести его к квадратному виду.

1. Замена переменных: Посмотрим на уравнение: 6cos^2(x) + 13sin(x) = 12

Обратим внимание, что у нас присутствует выражение вида acos^2(x) + bsin(x), где a и b - коэффициенты. Чтобы привести уравнение к квадратному виду, сделаем следующую замену:

Пусть t = cos(x)

Тогда sin(x) = √(1 - cos^2(x)) = √(1 - t^2)

После подстановки в уравнение получим:

6t^2 + 13√(1 - t^2) = 12

2. Решение уравнения: Теперь у нас квадратное уравнение относительно переменной t:

6t^2 + 13√(1 - t^2) - 12 = 0

Чтобы решить его, давайте сделаем следующую замену:

Пусть u = √(1 - t^2)

Тогда u^2 = 1 - t^2

Выразим t^2:

t^2 = 1 - u^2

Теперь подставим в исходное уравнение:

6(1 - u^2) + 13u - 12 = 0

6 - 6u^2 + 13u - 12 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно u. Решим его с помощью квадратного уравнения:

6u^2 - 13u + 6 = 0

Решим это квадратное уравнение:

u = (13 ± √(13^2 - 466)) / 2*6

u = (13 ± √(169 - 144)) / 12

u = (13 ± √25) / 12

Теперь найдем два значения u:

1. u = (13 + 5) / 12 = 18 / 12 = 3 / 2 = 1.5

2. u = (13 - 5) / 12 = 8 / 12 = 2 / 3 ≈ 0.6667

3. Возвращение к переменной t: Теперь, когда у нас есть значения u, мы можем вернуться к переменной t, используя уравнение t^2 = 1 - u^2.

4. t = √(1 - (3/2)^2) = √(1 - 9/4) = √(4/4 - 9/4) = √(-5/4) - такое значение t невозможно, так как квадратный корень из отрицательного числа.

5. t = √(1 - (2/3)^2) = √(1 - 4/9) = √(9/9 - 4/9) = √(5/9) = √5/3

Теперь найденные значения t - это частные решения исходного уравнения. Частное решение - это конкретное значение переменной, которое удовлетворяет уравнению. В данном случае, у нас только одно частное решение t = √5/3 ≈ 0.7454.

Заметьте, что тут у нас нет явного угла x, а только его значения sin(x) и cos(x). Таким образом, у нас только одно частное решение для t, что соответствует одному решению для угла x. Вообще говоря, у тригонометрических уравнений может быть бесконечное количество решений в интервале 0 ≤ x ≤ 2π, но в данном уравнении у нас только одно решение.