Question

Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Аня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька. Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Аня купила только альбом за 85 рублей и n = 24?

Answer 1

Ответ:

7

Объяснение:

Пусть x, y и z количество, соответственно, монет достоинством 2, 5 и 10 рублей. По условию задачи составим систему уравнений:

$\displaystyle \tt \left \{ {{x+y+z=24} \atop {2 \cdot x+5 \cdot y+10 \cdot z=85}} \right. ,$

где x≥0, y≥0, z≥0, x∈Z, y∈Z, z∈Z.

Так как 2·x+10·z - чётное число, то из второго уравнения заключаем, что количество монет достоинством 5 рублей положительное, то есть y>0.

В задаче требуется найти наименьшее количество пятирублёвых монет, что означает 2·x+10·z наибольшее из возможных вариантов.

Так как x+5·z целое число, то из следующих представлений заключаем, что y нечётное число:

$\displaystyle \tt 2 \cdot x+10 \cdot z=85-5 \cdot y \Leftrightarrow x+ 5 \cdot z= \frac{5 \cdot (17-y)}{2}.$

С другой стороны, правая часть последнего равенства и 5·z делится на 5, то x также делится на 5.  Рассмотрим варианты:

1) x=5, то

$\displaystyle \tt \left \{ {{5+y+z=24} \atop {2 \cdot 5+5 \cdot y+10 \cdot z=85}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y+z=19} \atop {5 \cdot y+10 \cdot z=75}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=19-z} \atop {y+2 \cdot z=15}} \right. \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left \{ {{y=19-z} \atop {19-z+2 \cdot z=15}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=19-z} \atop {z=-4}} \right.$

что невозможно;

2) x=10, то

$\displaystyle \tt \left \{ {{10+y+z=24} \atop {2 \cdot 10+5 \cdot y+10 \cdot z=85}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y+z=14} \atop {5 \cdot y+10 \cdot z=65}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=14-z} \atop {y+2 \cdot z=13}} \right. \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left \{ {{y=14-z} \atop {14-z+2 \cdot z=13}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=14-z} \atop {z=-1}} \right.$

что невозможно;

3) x=15, то

$\displaystyle \tt \left \{ {{15+y+z=24} \atop {2 \cdot 15+5 \cdot y+10 \cdot z=85}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y+z=9} \atop {5 \cdot y+10 \cdot z=55}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=9-z} \atop {y+2 \cdot z=11}} \right. \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left \{ {{y=9-z} \atop {9-z+2 \cdot z=11}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=9-2=7} \atop {z=2}} \right. ;$

4) x=20, то

$\displaystyle \tt \left \{ {{20+y+z=24} \atop {2 \cdot 20+5 \cdot y+10 \cdot z=85}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y+z=4} \atop {5 \cdot y+10 \cdot z=45}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=4-z} \atop {y+2 \cdot z=9}} \right. \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left \{ {{y=4-z} \atop {4-z+2 \cdot z=9}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=4-5=-1} \atop {z=5}} \right.$

что невозможно.

Так как x>24 невозможно, то получаем ответ:

x=15, y=7, z=2.

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты, чтобы понять, какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке.

Предположим, у нас есть a монет достоинством 2 рубля, b монет достоинством 5 рублей и c монет достоинством 10 рублей. Мы знаем, что общее количество монет равно n, то есть a + b + c = 24.

Теперь рассмотрим сумму денег, которую Аня потратила на альбом. Она расплатилась только монетами, поэтому сумма должна быть кратна достоинству монеты. Так как альбом стоит 85 рублей, это может быть достигнуто следующими комбинациями монет:

1. 17 монет достоинством 5 рублей (17 * 5 = 85). В этом случае b = 17, и у нас остаётся 24 - 17 = 7 монет в кошельке. Мы не можем точно определить, сколько из оставшихся монет достоинством 2 рубля и сколько - 10 рублей. Но мы знаем, что количество пятирублёвых монет в кошельке равно b, то есть 17.

2. 8 монет достоинством 2 рубля и 5 монет достоинством 10 рублей (8 * 2 + 5 * 10 = 16 + 50 = 66). В этом случае a = 8, c = 5, и у нас остаётся 24 - 8 - 5 = 11 монет в кошельке. Опять же, мы не можем точно определить, сколько из оставшихся монет достоинством 2 рубля и сколько - 10 рублей, но количество пятирублёвых монет равно b = 0.

Таким образом, наименьшее количество пятирублёвых монет, которое могло быть в кошельке, равно 0.