Question

Ребят,помогите пожалуйста,даю 40 баллов! Докажите,что при всех целых значениях n значение выражения:(n+6)²+5n² Делится навеяло на 6. Заранее спасибо!!!

Answer 1

$\displaystyle \tt \frac{(n+6)^2+5n^2}{6}=\frac{n^2+12n+36+5n^2}{6}=\frac{6n^2+12n+36}{6}=\frac{6(n^2+2n+6)}{6}=\underline{\bold{n^2+2n+6}}$

Answer 2

Давайте докажем, что для всех целых значений n выражение (n+6)² + 5n² делится на 6.

Чтобы доказать деление на 6, нужно показать, что это выражение делится на 2 и на 3.

1. Деление на 2: Любое четное число делится на 2, поэтому давайте рассмотрим два случая:

• Когда n четное: n = 2k, где k - целое число. (n + 6)² + 5n² = (2k + 6)² + 5(2k)² = (2k + 6)² + 20k² = 4k² + 24k + 36 + 20k² = 24k² + 24k + 36 Теперь заметим, что каждый из членов 24k², 24k и 36 делится на 2, поэтому их сумма также делится на 2.

• Когда n нечетное: n = 2k + 1, где k - целое число. (n + 6)² + 5n² = (2k + 1 + 6)² + 5(2k + 1)² = (2k + 7)² + 5(2k + 1)² = 4k² + 28k + 49 + 20k² + 10k + 5 = 24k² + 38k + 54 Теперь заметим, что каждый из членов 24k², 38k и 54 делится на 2, поэтому их сумма также делится на 2.

2. Деление на 3: Для того чтобы выражение (n + 6)² + 5n² было кратно 3, оба слагаемых (n + 6)² и 5n² должны быть кратны 3.

• (n + 6)² делится на 3 для всех n, так как n + 6 является суммой двух чисел, каждое из которых делится на 3.

• 5n² делится на 3, когда n делится на 3, так как один из множителей - 5, а другой n², и т.к. n делится на 3, то и n² делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что оба слагаемых (n + 6)² и 5n² кратны 3 для всех целых значений n.

Таким образом, мы доказали, что выражение (n + 6)² + 5n² делится на 2 и на 3 для всех целых значений n, а следовательно, оно делится на 6.