Question

Теория вероятностей. В окружность вписан правильный треугольник. В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в треугольник.

Answer 1

Ответ:

(3√3)/4π

Объяснение:

Вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от её расположения относительно круга, поэтому вероятность того, что точка попадёт в правильный треугольник, равна отношению площади правильного треугольника вписанного в круг к площади этого круга, т.е. Р= S(Δ)/S(кр.)

Площадь круга с радиусом R  равна S(кр.)=πR².

Находим площадь правильного треугольника вписанного в круг с радиусом R:

Сторона правильного треугольника, вписанного в круг с радиусом R, по теореме синусов равна 2Rsin60°=2R√3/2=R√3

S(Δ)=(R√3)³/4R = (3√3R³)/4R = (3√3R²)/4

Вычислим вероятность:

Р= S(Δ)/S(кр.) = (3√3R²)/4 : (πR²) = (3√3)/4π

Answer 2

Вероятность того, что случайно выбранная точка попадет внутрь вписанного правильного треугольника в окружности, можно рассчитать, используя отношение площадей.

Представим себе окружность радиусом R с вписанным в нее правильным треугольником. Площадь треугольника можно выразить через его высоту h и основание a:

Площадь треугольника = (1/2) * a * h.

Зная, что треугольник правильный, можно выразить высоту h через сторону треугольника a:

h = (sqrt(3)/2) * a.

Теперь, рассмотрим площадь треугольника внутри окружности, которую мы будем обозначать как A.

Площадь A = (1/2) * a * ((sqrt(3)/2) * a) = (sqrt(3)/4) * a^2.

Площадь всей окружности можно выразить через радиус R:

Площадь окружности = π * R^2.

Таким образом, вероятность попадания случайно выбранной точки внутрь треугольника будет равна отношению площади треугольника A к площади всей окружности:

Вероятность = A / (π * R^2) = ((sqrt(3)/4) * a^2) / (π * R^2).

Обратите внимание, что для точного расчета вероятности требуется знание соотношения между радиусом окружности и стороной вписанного треугольника. Если у вас есть конкретные значения для R или a, вы можете использовать эти формулы для расчета вероятности.