Question

40 баллов Вычислите: sin( ( π/6 ) + t ) * cos( ( π/3 ) - t )+sin( ( 2π/3 ) + t ) *sin( ( π/3 ) - t )

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) t=0

sin 0=0

cos 0=1

2) t=3π/4

sin(3π/4)=sin(π-π/4)=sin π/4=√2/2

cos(3π/4)=cos(π-π/4)=-cosπ/4=-√2/2

3) t=7π/6

sin 7π/6=sin(π+π/6)=-sin π/6=-1/2=-0.5

cos 7π/6= cos (π+π/6)=-cos π/6=-√3/2

4) t=-2π/3

sin (-2π/3)=-sin 2π/3=-√3/2

cos(-2π/3)=cos2π/3=-1/2=-0.5

Answer 2

Для вычисления данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами, которые нам позволят переписать сумму и произведение функций синуса и косинуса в более простом виде.

Тригонометрические тождества:

1. sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)
2. cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Подставим данные значения в эти тождества: a = π/6 b = t

sin(π/6 + t) = sin(π/6) * cos(t) + cos(π/6) * sin(t) ...(1) cos(π/3 - t) = cos(π/3) * cos(t) + sin(π/3) * sin(t) ...(2) sin(2π/3 + t) = sin(2π/3) * cos(t) + cos(2π/3) * sin(t) ...(3) sin(π/3 - t) = sin(π/3) * cos(t) - cos(π/3) * sin(t) ...(4)

Теперь вычислим значения sin(π/6), cos(π/6), sin(π/3), и cos(π/3):

sin(π/6) = 1/2 cos(π/6) = √3/2 sin(π/3) = √3/2 cos(π/3) = 1/2

Теперь подставим значения в выражение:

sin(π/6 + t) * cos(π/3 - t) + sin(2π/3 + t) * sin(π/3 - t)

= (1/2 * cos(t) + √3/2 * sin(t)) * (1/2 * cos(t) - √3/2 * sin(t)) + (sin(2π/3) * cos(t) + cos(2π/3) * sin(t)) * (√3/2 * cos(t) - 1/2 * sin(t))

Теперь упростим выражение, раскрыв скобки:

= (1/4 * cos^2(t) - 3/4 * sin^2(t)) + (√3/2 * sin(2π/3) * cos(t) - 1/2 * cos(2π/3) * sin(t))

Заметим, что sin(2π/3) = sin(π - 2π/3) = sin(π/3) = √3/2 и cos(2π/3) = cos(π - 2π/3) = -cos(π/3) = -1/2

= (1/4 * cos^2(t) - 3/4 * sin^2(t)) + (√3/2 * (√3/2) * cos(t) + 1/2 * (1/2) * sin(t))

= (1/4 * cos^2(t) - 3/4 * sin^2(t)) + (3/4 * cos(t) + 1/4 * sin(t))

Теперь объединим члены синусов и косинусов:

= 1/4 * cos^2(t) - 3/4 * sin^2(t) + 3/4 * cos(t) + 1/4 * sin(t)

Теперь можно записать итоговый ответ:

sin(π/6 + t) * cos(π/3 - t) + sin(2π/3 + t) * sin(π/3 - t) = 1/4 * cos^2(t) - 3/4 * sin^2(t) + 3/4 * cos(t) + 1/4 * sin(t)

Таким образом, значение данного выражения равно 1/4 * cos^2(t) - 3/4 * sin^2(t) + 3/4 * cos(t) + 1/4 * sin(t).