Question

Представить в виде произведения 1)х^2-4х-21. 2)х^4-10х^2+9.​

Answer 1

Для представления данных многочленов в виде произведения, мы должны разложить их на множители. Для этого проверим, можно ли факторизовать каждый многочлен на множители.

1. Многочлен: x^2 - 4x - 21

Для начала посмотрим, можно ли найти такие два числа, которые будут являться корнями этого многочлена, так как это поможет нам факторизовать его.

Мы ищем два числа a и b таких, что:

1. a * b = -21 (произведение константного члена многочлена)
2. a + b = -4 (коэффициент при первой степени многочлена)

У нас есть два таких числа: -7 и 3, потому что (-7) * 3 = -21 и (-7) + 3 = -4.

Теперь, используя эти числа, мы можем разложить многочлен на множители: x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)

2. Многочлен: x^4 - 10x^2 + 9

Обратим внимание, что данный многочлен - квадратное выражение по переменной x^2. Давайте заменим x^2 на новую переменную z и представим многочлен в более удобном виде: z^2 - 10z + 9

Теперь мы можем попробовать разложить z^2 - 10z + 9 на множители.

Для этого нам снова потребуются два числа a и b таких, что:

1. a * b = 9 (произведение константного члена многочлена)
2. a + b = -10 (коэффициент при первой степени многочлена)

У нас есть два таких числа: -9 и -1, потому что (-9) * (-1) = 9 и (-9) + (-1) = -10.

Теперь, используя эти числа, мы можем разложить многочлен на множители в терминах z: z^2 - 10z + 9 = (z - 9)(z - 1)

Но помним, что мы ввели замену z = x^2, поэтому давайте вернемся к переменной x: (x^2 - 9)(x^2 - 1)

Теперь давайте продолжим факторизацию, заметив, что оба выражения x^2 - 9 и x^2 - 1 также являются разностью квадратов:

x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Итак, окончательная факторизация многочлена x^4 - 10x^2 + 9 выглядит следующим образом: x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 9)(x^2 - 1) = (x + 3)(x - 3)(x + 1)(x - 1)