Question

Найдите последнюю цифру числа: а) 3 в степени 231 б) 2 в степени 125 в) 4 в степени 765

Answer 1

$3^{231}=3*3^{230}=3*9^{115}=3*(10-1)^{115}\equiv3*(-1)^{115}(mod\; 10)=3*(-1)=-3\equiv 7(mod\; 10)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3^{231}=\overline{...7}$

$2^{125}=(2^5)^{25}=32^{25}\equiv 2^{25}(mod\; 10)=(2^5)^5=32^5\equiv 2^5(mod\; 10)=32\equiv 2(mod\;10)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2^{125}=\overline{...2}$

$4^{765}=(2^{765})^2=((2^{5})^3*(2^{125})^6)^2\equiv (2^3*2^6)^2(mod\;10)=2^{18}=2^3*(2^5)^3\equiv 2^3*2^3(mod\; 10)=2*2^5\equiv 2*2 (mod\; 10)=4\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4^{765}=\overline{...4}$

Ответ: 7; 2; 4

______________________________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю.

Answer 2

Для нахождения последней цифры числа, возведенного в степень, можно воспользоваться цикличностью последних цифр некоторых чисел.

а) Число 3 имеет цикличность последних цифр: 3, 9, 7, 1. Таким образом, чтобы найти последнюю цифру числа 3 в степени 231, нужно найти остаток от деления степени на 4 (потому что период цикла составляет 4):

231 % 4 = 3

Последняя цифра числа 3^231 - это 7.

б) Число 2 имеет цикличность последних цифр: 2, 4, 8, 6. Таким образом, чтобы найти последнюю цифру числа 2 в степени 125, нужно найти остаток от деления степени на 4:

125 % 4 = 1

Последняя цифра числа 2^125 - это 2.

в) Число 4 имеет цикличность последних цифр: 4, 6. Таким образом, чтобы найти последнюю цифру числа 4 в степени 765, нужно найти остаток от деления степени на 2:

765 % 2 = 1

Последняя цифра числа 4^765 - это 4.