Question

Найдите f'(x0), если f(x)= корень 5+2x-3x^3 x0=1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=√(5+2x-3x³)      x₀=1     f'(x₀)=?

f'(x)=(√(5+2x-3x³))'=(5+2x-3x³)'/(2*√(5+2x-3x³))=(2-9x²)/(2*√(5+2x-3x³)).

f'(1)=(2-9*1²)/(2*√(5+2*1-3*1³))=(2-9)/(2*√(5+2-3))=-7/(2*√4)=-7/4=-1,75.

Ответ: f'(1)=-1,75.

Answer 2

Для нахождения производной f'(x0) функции f(x) в точке x0 = 1, сначала найдем саму функцию f(x) и затем вычислим ее производную.

Дано: f(x) = √(5 + 2x - 3x^3) x0 = 1

1. Найдем f(x0): Подставим x0 = 1 в выражение для f(x):

f(x0) = √(5 + 2(1) - 3(1)^3) f(1) = √(5 + 2 - 3) f(1) = √(4) f(1) = 2

Таким образом, значение функции f(x) в точке x0 = 1 равно 2.

2. Найдем производную f'(x) функции f(x): Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule), так как у нас функция задана как корень из сложного выражения.

Правило chain rule: Если у нас есть функция g(u) и функция h(x), и f(x) = g(h(x)), то производная f'(x) равна произведению производной g'(u) и производной h'(x): f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

В данном случае g(u) = √u, где u = 5 + 2x - 3x^3. Тогда g'(u) = (1/2) * u^(-1/2).

Теперь найдем производную h'(x) от функции h(x) = 5 + 2x - 3x^3: h'(x) = d/dx (5 + 2x - 3x^3) h'(x) = 2 - 9x^2.

Теперь, используя chain rule, найдем производную f'(x) функции f(x) в точке x0 = 1:

f'(x0) = g'(h(x0)) * h'(x0) f'(1) = g'(h(1)) * h'(1) f'(1) = g'(5 + 2(1) - 3(1)^3) * (2 - 9(1)^2) f'(1) = g'(5 + 2 - 3) * (2 - 9) f'(1) = g'(4) * (-7) f'(1) = (1/2) * 4^(-1/2) * (-7) f'(1) = (1/2) * (1/√4) * (-7) f'(1) = (1/2) * (1/2) * (-7) f'(1) = -7/4

Таким образом, производная функции f(x) в точке x0 = 1 равна -7/4.