Question

В прямоугольном треугольнике один из катетов на 4 см меньше гипотенузы,а другой на 2см меньше гипотенузы. Найти гипотенузу

Answer 1

Ответ:

10 см.

Объяснение:

Пусть х см - гипотенуза,

тогда (х - 4) см - меньший катет,

а (х - 2) см - больший катет.

По т.Пифагора составим и решим уравнение:

(х - 4)² + (х - 2)² = х²

х² - 8х + 16 + х² - 4х + 4 = х²

2х²  - 12х + 20 - х² = 0

х² - 12х + 20 = 0

D = (- 12)² - 4 · 20 = 144 - 80 = 64

$x_{1} =\frac{12+\sqrt{64} }{2} =\frac{12+8}{2} =\frac{20}{2} =10\\x_{2} =\frac{12-\sqrt{64} }{2} =\frac{12-8}{2} =\frac{4}{2} =2$

Второй корень не подходит, т.к. иначе длины катетов будут иметь отрицательное значение. => Гипотенуза равна 10 см.

Answer 2

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна H (в см).

По условию задачи, один из катетов на 4 см меньше гипотенузы, а другой на 2 см меньше гипотенузы.

Таким образом, длина первого катета будет (H - 4) см, а длина второго катета будет (H - 2) см.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

(H - 4)^2 + (H - 2)^2 = H^2.

Раскроем скобки:

H^2 - 8H + 16 + H^2 - 4H + 4 = H^2.

Соберем все слагаемые с H^2 на одной стороне уравнения:

H^2 - 8H + 16 + H^2 - 4H + 4 - H^2 = 0.

Упростим уравнение:

2H^2 - 12H + 20 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 2, b = -12 и c = 20.

D = (-12)^2 - 4 * 2 * 20 = 144 - 160 = -16.

Поскольку дискриминант D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что нет такого значения H, которое бы удовлетворяло условиям задачи.

Проверим условия задачи еще раз:

1. Один из катетов должен быть на 4 см меньше гипотенузы. Но даже если гипотенуза равнялась 4 см, такое возможно было бы только в вырожденном случае, когда треугольник превратился бы в прямую линию (из-за того, что гипотенуза равна сумме катетов).

2. Другой катет должен быть на 2 см меньше гипотенузы. Но в вырожденном случае, когда гипотенуза равна 4 см, это также не выполнимо.

Таким образом, по условию задачи нет возможности найти гипотенузу, которая бы удовлетворяла указанным условиям.