Question

1. Катер прошел 5 км по течению реки и 8 км по озеру, затратив на весь путь 1 час. Скорость течения равна 3 км/ч. Найти скорость катера по течению. 2. Бассейн наполняется двумя трубами за 10 часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на 15 ч быстрее, чем вторая? 3. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 1 меньше гипотенузы, а другой− на 8 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. 4. Найдите большую сторону прямоугольника, если известно, что одна из сторон на 3 больше другой, а диагональ прямоугольника равна 15.

Answer 1

Ответ:

это 2

х ч. Тогда 1я за х+15 ч. При этом скорость наполнения для 1й 1/x (часть бассейна,наполняемая за 1 час ). А скорость 2й получается 1/(x+15).

Если они будут работать вместе, то скорость будет:

1/x+1/(1+15).

Соответственно при совместной работе они заполнят бассейн за

1/( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+15} )1/(

x

1

+

x+15

1

) часов, что по условию равно 10 ч.

1/(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+15})=101/(

x

1

+

x+15

1

)=10

Упрощаем выражение

1/( \frac{x+15+x}{x(x+15)} )=1/( \frac{15+2x}{x^2+15x)} )= \frac{x^2+15x}{15+2x}1/(

x(x+15)

x+15+x

)=1/(

x

2

+15x)

15+2x

)=

15+2x

x

2

+15x

\begin{gathered}\frac{x^2+15x}{15+2x}=10 \\ \\ x^2+15x=10(15+2x) \end{gathered}

15+2x

x

2

+15x

=10

x

2

+15x=10(15+2x

\begin{gathered}x^2-5x-150=0 \\ \\ D=25-4*(-150)=625 \\ \\ x_{1,2}= \frac{5 \pm 25}{2} \\ x_{1} =15, x_{2} =-10 \end{gathered}

x

2

−5x−150=0

D=25−4∗(−150)=625

x

1,2

=

2

5±25

x

1

=15,x

2

=−10

Отрицательный корень исключаем.

Answer 2

Давайте решим каждую из задач по очереди:

1. Скорость катера по течению: Пусть Vc - скорость катера по течению, а Vr - скорость течения реки. Тогда Vc + Vr - скорость катера по озеру.

   Катер прошел 5 км по течению реки, что заняло 5 / (Vc - Vr) часов, и 8 км по озеру, что заняло 8 / (Vc + Vr) часов. Сумма времени равна 1 часу:

   5 / (Vc - Vr) + 8 / (Vc + Vr) = 1

   Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными, но мы также знаем, что скорость течения реки равна 3 км/ч:

   Vr = 3

   Теперь мы можем подставить значение Vr в уравнение:

   5 / (Vc - 3) + 8 / (Vc + 3) = 1

   Умножим обе стороны на (Vc - 3)(Vc + 3), чтобы избавиться от знаменателей:

   5(Vc + 3) + 8(Vc - 3) = (Vc - 3)(Vc + 3)

   Раскроем скобки:

   5Vc + 15 + 8Vc - 24 = Vc^2 - 9

   Упростим уравнение:

   13Vc - 9 = Vc^2 - 9

   Теперь выразим Vc^2, переместив все на одну сторону:

   Vc^2 - 13Vc = 0

   Теперь факторизуем это уравнение:

   Vc(Vc - 13) = 0

   Таким образом, у нас есть два возможных значения скорости катера по течению:

   1. Vc = 0 (но это невозможно, так как катер должен двигаться)
   2. Vc = 13 км/ч

   Ответ: Скорость катера по течению равна 13 км/ч.

2. Время наполнения бассейна первой трубой: Пусть X - время, которое первая труба затратит на наполнение бассейна. Тогда вторая труба затратит X + 15 часов.

   Первая труба наполняет бассейн со своей скоростью, а вторая - со своей. Сумма их скоростей равна 1/10 бассейна в час:

   1/X + 1/(X + 15) = 1/10

   Умножим обе стороны на 10X(X + 15), чтобы избавиться от знаменателей:

   10(X + 15) + 10X = X(X + 15)

   Раскроем скобки и упростим уравнение:

   10X + 150 + 10X = X^2 + 15X

   20X + 150 = X^2 + 15X

   Переносим все на одну сторону:

   X^2 - 5X - 150 = 0

   Теперь факторизуем уравнение:

   (X - 15)(X + 10) = 0

   Таким образом, у нас есть два возможных значения времени:

   1. X - 15 = 0, X = 15 часов (первая труба)
   2. X + 10 = 0, X = -10 часов (но это невозможно)

   Ответ: Первая труба наполнит бассейн за 15 часов.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника: Пусть c - гипотенуза, a - один из катетов, и b - другой катет.

   Мы знаем, что a = c - 1 и b = c - 8, так как один катет на 1 меньше гипотенузы, а другой на 8 меньше гипотенузы.

   Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:

   a^2 + b^2 = c^2

   Подставим значения a и b:

   (c - 1)^2 + (c - 8)^2 = c^2

   Раскроем скобки и упростим уравнение:

   c^2 - 2c + 1 + c^2 - 16c + 64 = c^2

   Объединим подобные члены:

   2c^2 - 18c + 1 + 64 = c^2

   Упростим:

   c^2 - 18c + 65 = c^2

   Переносим все на одну сторону:

   -18c + 65 = 0

   Теперь решим это уравнение:

   -18c = -65

   c = 65 / 18

   Ответ: Гипотенуза равна 65 / 18.

4. Большая сторона прямоугольника: Пусть x - длина одной из сторон прямоугольника, а y - длина другой стороны. Мы также знаем, что диагональ прямоугольника равна 15.

   Используем теорему Пифагора для прямоугольника:

   x^2 + y^2 = 15^2

   Мы также знаем, что одна из сторон (пусть это будет x) на 3 больше другой (y), так что:

   x = y + 3

   Теперь мы можем подставить значение x из этого уравнения в первое:

   (y + 3)^2 + y^2 = 15^2

   Раскроем скобки и упростим:

   y^2 + 6y + 9 + y^2 = 225

   Объединим подобные члены:

   2y^2 + 6y + 9 = 225

   Упростим:

   2y^2 + 6y + 9 - 225 = 0

   2y^2 + 6y - 216 = 0

   Делим на 2:

   y^2 + 3y - 108 = 0

   Факторизуем:

   (y + 12)(y - 9) = 0

   Таким образом, у нас есть два возможных значения для y:

   1. y + 12 = 0, y = -12 (но длина стороны не может быть отрицательной)
   2. y - 9 = 0, y = 9

   Теперь мы можем найти значение x:

   x = y + 3 = 9 + 3 = 12

   Ответ: Большая сторона прямоугольника равна 12.