Question

Вычислить квадрат модуля градиента поля u=x^4y^3 в точке (-1; 2)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Находишь производную

$\frac{du}{dx} = (x^{4} y^{3} )`=4x^{3} y^{3} \\\frac{du}{dy} = (x^{4} y^{3} )` = 3x^{4} y^{2}$

grad(u) = $(4x^{3} y^{3} )i + (3x^{4} y^{2} )j$, где i, j - вектора

2) grad(u) в точке А (-1;2):

grad(u) = ((4*(-1)^3*2^3)i + (3*(-1)^4*2^2)j) = (-32)i + (12)j

3) Модуль grad(u):

$\sqrt{(-32)^{2} +12^{2} } =$ $4\sqrt{73}$

Answer 2

Чтобы вычислить квадрат модуля градиента поля $u = x^4y^3$ в точке $(-1, 2)$, нужно выполнить несколько шагов. Градиент поля - это вектор, состоящий из всех частных производных функции $u$ по каждой из переменных $x$ и $y$. Затем в точке $(-1, 2)$ нужно подставить соответствующие значения переменных и вычислить модуль градиента, а затем возвести его в квадрат.

1. Найдем частные производные $u$ по переменным $x$ и $y$: $\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 4x^3y^3$ $\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 3x^4y^2$

2. Теперь подставим значения $(-1, 2)$ в эти частные производные: $\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\bigg|_{(-1, 2)} = 4(-1)^3(2)^3 = -32$ $\frac{{\partial u}}{{\partial y}}\bigg|_{(-1, 2)} = 3(-1)^4(2)^2 = 12$

3. Составим вектор градиента $\nabla u = \left(\frac{{\partial u}}{{\partial x}}, \frac{{\partial u}}{{\partial y}}\right)$ в точке $(-1, 2)$: $\nabla u\bigg|_{(-1, 2)} = (-32, 12)$

4. Теперь вычислим квадрат модуля градиента: $|\nabla u|^2 = (-32)^2 + 12^2 = 1024 + 144 = 1168$

Таким образом, квадрат модуля градиента поля $u = x^4y^3$ в точке $(-1, 2)$ равен 1168.