Question

Решите уравнение:(x-2)^3=|x+6|^2-44​

Answer 1

$\displaystyle \tt (x-2)^3=|x+6|^2-44\\\displaystyle \tt x^3-6x^2+12x-8=(x+6)^2-44\\\displaystyle \tt x^3-6x^2+12x-8=x^2+12x+36-44\\\displaystyle \tt x^3-6x^2-8=x^2+36-44\\\displaystyle \tt x^3-6x^2-8=x^2-8\\\displaystyle \tt x^3-6x^2=x^2\\\displaystyle \tt x^3-6x^2-x^2=0\\\displaystyle \tt x^3-7x^2=0\\\displaystyle \tt x^2(x-7)=0\\\displaystyle \tt \bold{x_1=0}\\\displaystyle \tt x-7=0\\\displaystyle \tt \bold{x_2=7}$

Answer 2

Для решения уравнения, необходимо разбить его на несколько случаев, учитывая модуль в правой части:

1. При условии x + 6 ≥ 0 (то есть x ≥ -6): (x - 2)^3 = (x + 6)^2 - 44

2. При условии x + 6 < 0 (то есть x < -6): (x - 2)^3 = -(x + 6)^2 + 44

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. При x ≥ -6: (x - 2)^3 = (x + 6)^2 - 44

Раскроем куб и квадрат в уравнении: (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = (x^2 + 12x + 36) - 44

Приведем подобные слагаемые: x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = x^2 + 12x - 8

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: x^3 - 7x^2 = 0

x^2 (x - 7) = 0

Теперь решим квадратное уравнение: x^2 = 0 или x - 7 = 0

1.1. x^2 = 0 Отсюда получаем одно решение: x = 0

1.2. x - 7 = 0 Отсюда получаем второе решение: x = 7

2. При x < -6: (x - 2)^3 = -(x + 6)^2 + 44

Раскроем куб и квадрат в уравнении: (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = -(x^2 + 12x + 36) + 44

Приведем подобные слагаемые: x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = -x^2 - 12x + 8

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: x^3 - 5x^2 + 24x = 0

Теперь факторизуем, выделим x: x (x^2 - 5x + 24) = 0

Теперь решим квадратное уравнение: x^2 - 5x + 24 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 24 = 25 - 96 = -71.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня: x = (-(-5) ± √(-71)) / 2 * 1 x = (5 ± √71i) / 2

Таким образом, уравнение имеет два комплексных корня: x = (5 + √71i) / 2 и x = (5 - √71i) / 2

Итак, все решения уравнения: x = 0, x = 7, x = (5 + √71i) / 2 и x = (5 - √71i) / 2.