Question

СРОЧНО ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА найти площадь фигуры ограниченной данными линиями 1)параболами у=(х+2)^2 , у=(х-3)^2 , осью Ох и прямой, проходящей через точки (-1;1) и (1;4) 2)графиком функции у=соs x , прямой у=1/2 и отрезком [-п/2;п/2] оси Ох

Answer 1

Скорее всего прямая только соединяет точки (-1;1) и (1;4)

Тогда фигура, состоит из трех частей см рис.1

$S=\int\limits^{-1}_{-2} {(x+2)^2} \, dx +\int\limits^{1} _{-1} {\frac{3x+5}{2} } \, dx +\int\limits^3_1 {(x-3)^2} \, dx =\\\\=\frac{(x+2)^3}{3}|^{-1}_{-2}+(\frac{3x^2}{4}+\frac{5}{2}x)|^{1}_{-1}+\frac{(x-3)^3}{3}|^{3}_{1}=\frac{1}{3}+5+\frac{8}{3}=8$

2)

cм. рис. 2

Фигура симметрична относительно оси Оу, поэтому можно считать половину площади на [0;π/2]

$S=2\cdot(\frac{\pi }{3}\cdot \frac{1}{2}+\int\limits^{\frac{\pi }{2} }_{\frac{\pi }{3} } {cosx} \, dx )=\frac{\pi }{3}+2(-sinx)| ^{\frac{\pi }{2} }_{\frac{\pi }{3} }=\frac{\pi }{3}+2(-sin\frac{\pi }{2}+sin\frac{\pi }{3} )=\frac{\pi }{3} -2+\sqrt{3}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу поочередно.

1. Площадь фигуры между параболами и прямой можно найти путем интегрирования. Сначала найдем точки пересечения парабол:

Парабола 1: y = (x + 2)^2 Парабола 2: y = (x - 3)^2

Ищем точки пересечения: (x + 2)^2 = (x - 3)^2 x^2 + 4x + 4 = x^2 - 6x + 9 10x = 5 x = 0.5

Теперь подставим x в одну из парабол, например, в уравнение первой параболы: y = (0.5 + 2)^2 y = 2.5^2 y = 6.25

Таким образом, точка пересечения парабол: (0.5, 6.25).

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точки (-1, 1) и (1, 4): Найдем угловой коэффициент: m = (4 - 1) / (1 - (-1)) = 3 / 2 = 1.5

Используя точку (-1, 1), найдем уравнение прямой: y - y₁ = m(x - x₁) y - 1 = 1.5(x + 1) y = 1.5x + 2.5

Теперь, чтобы найти площадь между графиками парабол и прямой, мы должны найти интеграл от разности функций по переменной x на интервале [-1, 0.5]:

Площадь = ∫[from -1 to 0.5] [(x + 2)^2 - (1.5x + 2.5)] dx

Вычислить этот интеграл довольно сложно вручную, но вы можете воспользоваться компьютером или программой для символьных вычислений, такой как Wolfram Alpha или Python с библиотекой sympy.

2. Площадь между графиком функции y = cos(x), прямой y = 1/2 и отрезком [-π/2, π/2] оси Ох можно также найти с помощью интегралов.

Сначала найдем точки пересечения графика функции y = cos(x) и прямой y = 1/2: cos(x) = 1/2 x = π/3 и x = 5π/3 (на отрезке [-π/2, π/2]).

Интеграл для нахождения площади будет выглядеть следующим образом: Площадь = ∫[from π/3 to 5π/3] (cos(x) - 1/2) dx

Также, для вычисления этого интеграла, вы можете воспользоваться компьютером или символьной математической программой.

Если у вас возникли трудности с вычислениями, рекомендую использовать инструменты для символьных вычислений или проконсультироваться с учителем или преподавателем.