Question

Решите на множестве R неравенство: (3x-2)²≥3x(-1).

Answer 1

Ответ: (-∞;+∞) или х∈R.

Объяснение:

(3х-2)²≥3х(-1);

9х²-12х+4≥ -3х;

9х²-12х+4+3х≥0;

9х²-9х+4≥0;

f(х)=9х²-9х+4-квадратичная функция, график - парабола, ветви вверх;

9х²-9х+4=0;

D=81-4*9*4=81-144<0 ⇒ нет корней ⇒схематический график функции расположен выше оси абсцисс.

Значит f(х)≥0 при х∈(-∞;+∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства, первым шагом является приведение квадратного выражения к стандартному виду и сокращение подобных членов, если это возможно. Затем найдем интервалы, где неравенство выполняется.

Итак, начнем:

(3x - 2)² ≥ 3x(-1)

Сначала раскроем квадрат слева:

(3x - 2)² = (3x - 2)(3x - 2) = 9x² - 12x + 4

Теперь перепишем неравенство с учетом этого:

9x² - 12x + 4 ≥ 3x(-1)

Далее приведем всё к одной стороне неравенства:

9x² - 12x + 4 + 3x ≥ 0

9x² - 9x + 4 ≥ 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения 9x² - 9x + 4 = 0:

D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 9 * 4 = 81 - 144 = -63

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Значит, уравнение 9x² - 9x + 4 = 0 не имеет решений на множестве действительных чисел.

Теперь определим знак выражения 9x² - 9x + 4 на разных интервалах числовой прямой. Для этого используем тесты знаков:

1. Проверим интервал (-∞, +∞): Выберем произвольную точку, например, x = 0: 9(0)² - 9(0) + 4 = 4 ≥ 0

   Значит, на интервале (-∞, +∞) выражение 9x² - 9x + 4 ≥ 0.

Таким образом, исходное неравенство выполняется на всем множестве действительных чисел R:

9x² - 9x + 4 ≥ 0, для всех x ∈ R.