Question

Найдите наименьшее занчен е функции y=(2x^4+7x^2+32):x^2

Answer 1

Для нахождения наименьшего значения функции y = (2x^4 + 7x^2 + 32) / x^2, необходимо найти точку, в которой производная функции равна нулю. Это место будет являться кандидатом на экстремум функции, который может быть минимумом.

Сначала найдем производную функции y по x:

y = (2x^4 + 7x^2 + 32) / x^2 y' = d/dx [(2x^4 + 7x^2 + 32) / x^2] = (d/dx [2x^4 + 7x^2 + 32] * x^2 - (2x^4 + 7x^2 + 32) * d/dx [x^2]) / x^4 = (8x^3 + 14x) * x^2 - (2x^4 + 7x^2 + 32) * 2x / x^4 = 8x^5 + 14x^3 - (4x^5 + 14x^3 + 64x) / x^3 = 4x^5 - 64x / x^3 = 4x^2 - 64 / x^2

Далее, найдем значения x, при которых производная равна нулю:

4x^2 - 64 / x^2 = 0 4x^2 = 64 x^2 = 16 x = ±4

Теперь найдем значения y при найденных x:

1. Для x = 4: y = (2x^4 + 7x^2 + 32) / x^2 = (2 * 4^4 + 7 * 4^2 + 32) / 4^2 = (512 + 112 + 32) / 16 = 656 / 16 = 41

2. Для x = -4: y = (2x^4 + 7x^2 + 32) / x^2 = (2 * (-4)^4 + 7 * (-4)^2 + 32) / (-4)^2 = (512 - 112 + 32) / 16 = 432 / 16 = 27

Таким образом, наименьшее значение функции y = (2x^4 + 7x^2 + 32) / x^2 равно 27, и достигается оно при x = -4.