Question

При каких значениях числа а система уравнений имеет 2 решения x^2+y^2=4 x+y=a

Answer 1

$x+y=a$

$y=a-x$

$x^2+y^2=4$

$x^2+(a-x)^2=4$

$x^2+a^2-2ax+x^2-4=0$

$2x^2-2ax+a^2-4=0$

$D=(-2a)^2-4\cdot2\cdot(a^2-4)=4a^2-8a^2+32=-4a^2+32$

$D>0$

$-4a^2+32>0\ \ \ |:(-4)$

$a^2-8$

$(a-2\sqrt2)(a+2\sqrt2)$

$a\in(-2\sqrt2;2\sqrt2)$

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела 2 решения, графики уравнений должны пересекаться в двух различных точках. График уравнения x^2 + y^2 = 4 представляет собой окружность радиуса 2 с центром в начале координат (0,0). График уравнения x + y = a представляет собой прямую линию с наклоном 45° и точкой пересечения с осью y в точке (0, a).

Если графики уравнений пересекаются в двух точках, то окружность и прямая должны касаться друг друга в двух точках. Это происходит, когда расстояние между центром окружности и прямой равно радиусу окружности.

Радиус окружности x^2 + y^2 = 4 равен 2. Расстояние между центром окружности (0, 0) и прямой x + y = a можно найти, разделив модуль коэффициента при x и y на корень из суммы их квадратов:

Расстояние = |1/(√2)| = 1/√2 ≈ 0.707

Теперь, чтобы расстояние между центром окружности и прямой было равно радиусу окружности, необходимо, чтобы это расстояние составляло 2, то есть:

1/√2 = 2

Однако, такого значения а не существует, потому что 1/√2 ≈ 0.707, что меньше радиуса окружности 2. Следовательно, система уравнений x^2 + y^2 = 4 и x + y = a не имеет 2 решений при любых значениях a.

Итак, система уравнений не имеет двух решений при любых значениях числа а.