Question

На графике квадратичной функции y=3x^2+12x+2017 отмечены две различные точки А и В с целыми координатами Докажите, что если длина отрезка AB - целое число, то он параллелен оси Ox.

Answer 1

........................

Answer 2

Для доказательства утверждения нам нужно воспользоваться свойствами квадратичных функций и особенностями графика функции y = 3x^2 + 12x + 2017.

Пусть точки А и В имеют целые координаты и лежат на графике квадратичной функции y = 3x^2 + 12x + 2017. Пусть координаты точки А будут (x1, y1), а координаты точки В - (x2, y2).

Так как эти точки лежат на графике функции, то удовлетворяют уравнению:

y1 = 3x1^2 + 12x1 + 2017 y2 = 3x2^2 + 12x2 + 2017

Длина отрезка AB (|AB|) определяется формулой:

|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

По условию, |AB| - целое число. Заметим, что расстояние между двумя точками на графике функции будет целым числом только в двух случаях:

1. Если обе точки лежат на одной горизонтальной прямой.
2. Если обе точки совпадают (одна и та же точка).

Мы хотим доказать, что |AB| - целое число, и при этом AB не может быть равным нулю (иначе это не различные точки). Поэтому единственным возможным вариантом остается первый случай - обе точки лежат на одной горизонтальной прямой.

Для этого докажем, что y1 = y2. Подставим выражения для y1 и y2:

3x1^2 + 12x1 + 2017 = 3x2^2 + 12x2 + 2017

Упростим выражение:

3x1^2 + 12x1 = 3x2^2 + 12x2

3(x1^2 + 4x1) = 3(x2^2 + 4x2)

Отбросим общий множитель:

x1^2 + 4x1 = x2^2 + 4x2

Приравняем правые части уравнения и выразим одну переменную через другую:

x1^2 + 4x1 - x2^2 - 4x2 = 0

(x1^2 + 4x1 + 4) - (x2^2 + 4x2 + 4) = 0

(x1 + 2)^2 - (x2 + 2)^2 = 0

Теперь воспользуемся тождеством разности квадратов:

(x1 + 2 + x2 + 2)(x1 + 2 - x2 - 2) = 0

(x1 + x2 + 4)(x1 - x2) = 0

Теперь есть два варианта:

1. x1 + x2 + 4 = 0
2. x1 - x2 = 0

Для первого варианта x1 = -x2 - 4. Если подставить это выражение в уравнение для y1 и y2, то увидим, что они также будут равны. Это означает, что точки А и В имеют одинаковую y-координату, а значит, лежат на одной горизонтальной прямой.

Для второго варианта x1 = x2. Также, если подставить это в уравнение для y1 и y2, они будут равны. Опять же, это означает, что точки А и В имеют одинаковую y-координату и лежат на одной горизонтальной прямой.

Таким образом, мы показали, что в обоих случаях точки А и В имеют одинаковую y-координату и лежат на одной горизонтальной прямой. Это означает, что отрезок AB параллелен оси Ox. Доказательство завершено.