Question

(x-3)√(14+5x-x²) ≥0 розв'яжіть методом інтервалів

Answer 1

Как-то так )))))))))))

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність (x-3)√(14+5x-x²) ≥ 0 методом інтервалів, спробуємо знайти інтервали, на яких вираз (x-3)√(14+5x-x²) приймає невід'ємні значення.

1. Знайдемо точки, в яких вираз (x-3)√(14+5x-x²) дорівнює нулю:

(x - 3)√(14 + 5x - x²) = 0

Точки, де чисельник (x - 3) дорівнює нулю, будуть x = 3.

2. Знайдемо точки, в яких вираз (x-3)√(14+5x-x²) може змінити знак:

Вираз під коренем 14 + 5x - x² повинен бути більше або дорівнювати нулю, тобто:

14 + 5x - x² ≥ 0

Перенесемо все у ліву сторону:

x² - 5x - 14 ≤ 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння, щоб знайти точки, де воно дорівнює нулю:

x² - 5x - 14 = 0

Застосуємо квадратну формулу:

x = (5 ± √(5² - 41(-14))) / 2 x = (5 ± √(25 + 56)) / 2 x = (5 ± √81) / 2 x = (5 ± 9) / 2

Таким чином, ми отримали дві точки: x = 7 та x = -2.

Тепер розділимо числову пряму на чотири інтервали, зазначивши крайні точки:

1. x < -2
2. -2 ≤ x < 3
3. 3 ≤ x < 7
4. x ≥ 7

Підставимо точки з кожного інтервалу в початковий вираз, щоб визначити знак (позитивний, негативний або нуль) на кожному інтервалі:

1. x < -2: (-2 - 3)√(14 + 5*(-2) - (-2)²) = (-5)√(14 - 10 - 4) = (-5)√0 = 0

2. -2 ≤ x < 3: (x - 3)√(14 + 5x - x²) = (-2 - 3)√(14 + 5*(-2) - (-2)²) = (-5)√(14 - 10 - 4) = (-5)√0 = 0

3. 3 ≤ x < 7: (x - 3)√(14 + 5x - x²) = (x - 3)√(14 + 5x - x²) = (x - 3)√(14 + 5x - x²) > 0

4. x ≥ 7: (x - 3)√(14 + 5x - x²) = (7 - 3)√(14 + 5*7 - 7²) = 4√(14 + 35 - 49) = 4√0 = 0

Тепер знаходимо розв'язок нерівності, об'єднавши інтервали, на яких вираз є невід'ємним:

Розв'язок: x ∈ (-2, 3] ∪ [7, +∞)