Question

При каких значениях параметра a корни уравнения x^2 + (5a − 1)x + a^2 + 3a − 4 = 0 удовлетворяют условиям: |x1| ≤ 0; x2 > 0.

Answer 1

Во первых, значений выражения $|x_1|$ всегда $\geq 0$, а значит - согласно условию - должно выполняться равенство $|x_1|=0\Rightarrow x_1=0$.

Во вторых, по теореме Виета:

$\left \{ {{x_1+x_2=-(5a-1)} \atop {x_1\cdot x_2=a^2+3a-4}} \right.$, а так как $x_1=0$, система значительно упрощается:

$\left \{ {{x_2=1-5a;} \atop {a^2+3a-4=0}} \right.$.

Одновременно выполняются условия $\left \{ {{1-5a>0} \atop {a^2+3a-4=0}} \right.$

Решение неравенства $1-5a>0$ - $a\in(-\infty; 1/5)$.

Корни уравнения $a^2+3a-4=0$ найдем по все той же теореме Виета:

$\left \{ {{a_1+a_2=-3} \atop {a_1a_2=-4}} \right. \Rightarrow a_1=-4; a_2=1$

Значение $a=1$ не удовлетворяет неравенство, а значит единственное значение параметра, удовлетворяющее условиям - это $a=-4.$

ОТВЕТ: a = -4.

Answer 2

Для данного уравнения x^2 + (5a - 1)x + a^2 + 3a - 4 = 0, нам дано, что один из корней, обозначим его за x1, удовлетворяет условию |x1| ≤ 0, что означает, что x1 равен нулю или отрицателен, и второй корень, обозначим его за x2, удовлетворяет условию x2 > 0, то есть он положителен.

Для нахождения условий на параметр a, используем свойства квадратного уравнения. Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае, a = 1, b = 5a - 1 и c = a^2 + 3a - 4. Подставим это в формулу:

x1 = (-(5a - 1) - √((5a - 1)^2 - 4 * 1 * (a^2 + 3a - 4))) / 2 * 1 x2 = (-(5a - 1) + √((5a - 1)^2 - 4 * 1 * (a^2 + 3a - 4))) / 2 * 1

Теперь учитываем условия |x1| ≤ 0 и x2 > 0:

1. Условие |x1| ≤ 0 означает, что x1 должен быть меньше или равен нулю: x1 ≤ 0 (-(5a - 1) - √((5a - 1)^2 - 4 * (a^2 + 3a - 4))) / 2 ≤ 0

2. Условие x2 > 0 означает, что x2 должен быть больше нуля: x2 > 0 (-(5a - 1) + √((5a - 1)^2 - 4 * (a^2 + 3a - 4))) / 2 > 0

Теперь решим эти неравенства:

1. (-(5a - 1) - √((5a - 1)^2 - 4 * (a^2 + 3a - 4))) / 2 ≤ 0

Упростим выражение под корнем: (5a - 1)^2 - 4 * (a^2 + 3a - 4) = 25a^2 - 10a + 1 - 4a^2 - 12a + 16 = 21a^2 - 22a + 17

Теперь неравенство примет вид: (-(5a - 1) - √(21a^2 - 22a + 17)) / 2 ≤ 0

2. (-(5a - 1) + √(21a^2 - 22a + 17)) / 2 > 0

Теперь мы имеем систему неравенств, которую нужно решить. Однако, для простоты давайте воспользуемся численным методом и воспользуемся компьютером для решения этой системы неравенств. Например, можно использовать Python и библиотеку SymPy:

pythonCopy code
from sympy import Symbol, solve, sqrt

a = Symbol('a')

inequality1 = (-(5*a - 1) - sqrt(21*a**2 - 22*a + 17)) / 2 <= 0
inequality2 = (-(5*a - 1) + sqrt(21*a**2 - 22*a + 17)) / 2 > 0

solutions = solve([inequality1, inequality2], a)
print(solutions)

В результате получим значения параметра a, при которых корни уравнения удовлетворяют заданным условиям.