Question

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: √3 ; −1 ; √1/3

Answer 1

Ответ: S=1,098.

Объяснение:

√3; -1; √(1/3); ...

b₁=√3      b₂=-1   ⇒

q=b₂/b₁=-1/√3.

S=b₁/(1-q)=√3/(1-(-1/√3)=√3/(1+(1/√3))=√3/(√3+1)/√3))=√3*√3/(√3+1)=

=3/(√3+1)≈1,098.

Answer 2

Для того чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нужно удовлетворять условиям сходимости геометрической прогрессии. Для того чтобы прогрессия сходилась, абсолютное значение отношения любых двух последовательных членов прогрессии должно быть меньше 1.

Дана последовательность: √3, -1, √1/3

Посмотрим на отношения последовательных членов:

Отношение между первым и вторым членами: |-1 / √3| = 1/√3 ≈ 0.577 Отношение между вторым и третьим членами: |√1/3 / -1| = √1/3 ≈ 0.577

Оба отношения имеют абсолютное значение меньше 1, что означает, что геометрическая прогрессия сходится.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r),

где 'a' - первый член прогрессии, 'r' - отношение (значение отношения между последовательными членами).

Для нашей прогрессии, первый член (a) равен √3, а отношение (r) равно 1/√3.

S = √3 / (1 - 1/√3).

Для вычисления суммы, давайте упростим выражение.

S = √3 / ((√3 - 1) / √3) = √3 * (√3 / (√3 - 1)).

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение (конъюгатное) (√3 + 1):

S = √3 * (√3 / (√3 - 1)) * (√3 + 1) / (√3 + 1) = √3 * (√3 + 1) / ((√3 - 1) * (√3 + 1)).

Раскроем скобки:

S = (√3 * (√3 + 1)) / (3 - 1).

S = (√3 * (√3 + 1)) / 2 ≈ 1.732 * 2 / 2 ≈ 1.732.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии √3, -1, √1/3 составляет примерно 1.732 (округленно до трех знаков после запятой).