Question

Найдите область значений функции y=12sinx + 5cosx - 4 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение: y=12*sin(x) + 5*cos(x) -4;

Сделаем преобразование с выражением: 12*sin(x) + 5*cos(x) =

=√(12²+5²) × ((12×sin(x))/ √(12²+5²) + ( 5×cos(x)/√(12²+5²)) = ....

...= 13× ((12sin(x)/13 + (5×cos(x)/13) = 13×((cosβ×sin x + sinβ×cosx) =

= 13×sin(x+β);

Где cosβ=(12/13), a  sinβ=(5/13);

Область определения функций y=cos(x+β) и y=cos(x) будет множество всех действительных чисел, потому что β=arccos(12/13)

есть определенное число.

Функция; y=12×sin(x) + 5×cos(x) -4= 13×sin(x+β) -4=13×sin(α) -4;

где α=(х+β);

Итак максимальное значение данной функции:

y=13×sinα-4= 13×1-4=13-4=9;

Минимальное значение функции:

y=13×sinα-4= 13×(-1) -4=-13-4=-17;

Здесь применяли максимальное и минимальное значение  sinα: -1;1.

Ответ: область значений функции [-17;9}.

Answer 2

Для нахождения области значений функции y = 12sin(x) + 5cos(x) - 4, нужно определить, какие значения может принимать выражение 12sin(x) + 5cos(x) в зависимости от значения аргумента x. Обратим внимание, что синус и косинус являются тригонометрическими функциями, которые изменяются в пределах от -1 до 1.

Теперь рассмотрим выражение 12sin(x) + 5cos(x):

Минимальное значение для 12sin(x) + 5cos(x) возможно, когда оба слагаемых равны своим минимальным значениям (-1). Таким образом, минимальное значение функции составляет: 12sin(x) + 5cos(x) >= 12*(-1) + 5*(-1) = -12 - 5 = -17.

Максимальное значение для 12sin(x) + 5cos(x) возможно, когда оба слагаемых равны своим максимальным значениям (1). Таким образом, максимальное значение функции составляет: 12sin(x) + 5cos(x) <= 121 + 51 = 12 + 5 = 17.

Таким образом, область значений функции y = 12sin(x) + 5cos(x) - 4 находится в пределах от -17 до 17. Формально можно записать это следующим образом:

Область значений: -17 <= y <= 17.