Question

Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=x^2/2-x^5/5 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Точки пересечения с осью ох , т.е. у=0 0,5х²-0,2х⁵=0 . Точки пересечения с осью оу , т.е. х=0 у=0

Answer 2

Конечно, давайте исследуем функцию и построим её график. Функция дана следующим образом:

$f(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5}$

Давайте начнём с анализа основных характеристик функции.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как не существует ограничений на входное значение.

2. Чётность/нечётность: Функция не обладает свойствами чётности или нечётности, так как $f(-x) \neq -f(x)$ и $f(-x) \neq f(x)$.

3. Производная: Давайте найдем производную функции:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5} \right) = x - x^4$

4. Экстремумы: Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$x - x^4 = 0$

$x(1 - x^3) = 0$

Это уравнение имеет корни $x = 0$ и $x = 1$.

5. Исследование знаков производной: Давайте проанализируем знаки производной в интервалах между и около найденных корней.

   • При $x < 0$: $f'(x)$ отрицательна, следовательно, функция убывает.
   • В интервале $0 < x < 1$: $f'(x)$ положительна, функция возрастает.
   • В интервале $1 < x$: $f'(x)$ положительна, функция также возрастает.

6. Вторая производная: Найдем вторую производную:

$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} (x - x^4) = 1 - 4x^3$

7. Исследование выпуклости и вогнутости: Анализируем знаки второй производной.

   • При $x < 0$: $f''(x)$ положительна, следовательно, функция выпукла вверх.
   • При $0 < x < (1/\sqrt[3]{4})$: $f''(x)$ отрицательна, функция вогнута вниз.
   • При $(1/\sqrt[3]{4}) < x$: $f''(x)$ положительна, функция выпукла вверх.

Теперь давайте построим график функции:

На графике видно, что функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1, +\infty)$, и убывает на интервале $(0, 1)$. Также видно, что в точке $x = 0$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x = 1$ - локальный минимум. Функция выпукла вниз на интервале $(0, 1/\sqrt[3]{4})$ и выпукла вверх на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1/\sqrt[3]{4}), +\infty)$.

Надеюсь, эта информация и график помогли вам лучше понять данную функцию.