Question

Найди корни уравнения sin2x−√3sinx=0: x= °n; x=± °+ °n,n∈Z.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

sin2x-V3 sinx=0,  2sinx*cosx-V3 sinx=0,  sinx(2cosx-V3 )=0, sinx=0,

cosx=V3/2,  x=pn,  x=+-p/6+2pn,  n  E  Z

Answer 2

Для нахождения корней уравнения sin^2(x) - √3sin(x) = 0, мы можем сначала преобразовать его и затем применить тригонометрические тождества. Давайте начнем:

sin^2(x) - √3sin(x) = 0

Теперь заменим sin^2(x) через тригонометрическое тождество sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2:

(1 - cos(2x))/2 - √3sin(x) = 0

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

1 - cos(2x) - 2√3sin(x) = 0

Теперь заменим sin(x) через тригонометрическое тождество sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2):

1 - cos(2x) - 2√3(2sin(x/2)cos(x/2)) = 0

1 - cos(2x) - 4√3sin(x/2)cos(x/2) = 0

Теперь заменим cos(2x) через тригонометрическое тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x):

1 - (1 - 2sin^2(x)) - 4√3sin(x/2)cos(x/2) = 0

Упростим:

2sin^2(x) - 4√3sin(x/2)cos(x/2) = 0

Выносим 2sin(x/2) за скобку:

2sin(x/2)(sin(x) - 2√3cos(x/2)) = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. sin(x/2) = 0

2. sin(x) - 2√3cos(x/2) = 0

Решим первое уравнение:

sin(x/2) = 0

x/2 = kπ, где k - целое число

x = 2kπ

Теперь решим второе уравнение:

sin(x) - 2√3cos(x/2) = 0

sin(x) = 2√3cos(x/2)

sin(x) = 2√3 * √(1 - sin^2(x/2)) (используем тригонометрическое тождество для cos(x/2))

sin(x) = 2√3 * √(1 - (sin(x/2))^2)

Теперь заменим sin(x/2) = 2√3 * √(1 - (sin(x/2))^2) через тригонометрическое тождество sin(x/2) = 2sin(x/4)cos(x/4):

sin(x) = 2√3 * √(1 - (2sin(x/4)cos(x/4))^2)

sin(x) = 2√3 * √(1 - 4sin^2(x/4)cos^2(x/4))

sin(x) = 2√3 * √(1 - 4sin^2(x/4)(1 - sin^2(x/4)))

sin(x) = 2√3 * √(1 - 4(sin^2(x/4) - sin^4(x/4)))

sin(x) = 2√3 * √(1 - 4sin^2(x/4) + 4sin^4(x/4))

sin(x) = 2√3 * √((1 - 2sin^2(x/4))^2)

sin(x) = 2√3 * (1 - 2sin^2(x/4))

Теперь заменим sin(x) = 2√3 * (1 - 2sin^2(x/4)) через тригонометрическое тождество sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2):

2sin(x/2)cos(x/2) = 2√3 * (1 - 2sin^2(x/4))

sin(x/2)cos(x/2) = √3 * (1 - 2sin^2(x/4))

Теперь заменим sin^2(x/4) через тригонометрическое тождество sin^2(x/4) = (1 - cos(x/2))/2:

sin(x/2)cos(x/2) = √3 * (1 - 2((1 - cos(x/2))/2))

sin(x/2)cos(x/2) = √3 * (1 - (1 - cos(x/2)))

sin(x/2)cos(x/2) = √3 * cos(x/2)

Теперь можно делить обе части уравнения на cos(x/2) (при условии, что cos(x/2) ≠ 0):

sin(x/2) = √3

x/2 = π/3 + 2πk, где k - целое число

x = π/3 + 4πk

Итак, у нас есть три множества корней:

1. x = 2kπ

2. x = π/3 + 4πk

3. x = -π/3 + 4πk

где k - целое число.