Question

Розв'яжіть рівняння arcctg(2x+1) = -1

Answer 1

ответ во вложенииииии

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння arcctg(2x+1) = -1.

Спершу, ми знаємо, що arctan(x) + arcctg(x) = π/2 для будь-якого дійсного числа x.

Тобто, ми можемо переписати дане рівняння в такий спосіб:

arcctg(2x+1) = π/2 + arctan(2x+1)

Тепер ми можемо використати властивість арктангенса arctan(x) = -arcctg(1/x), щоб спростити рівняння:

π/2 + arctan(2x+1) = -arctan(1/(2x+1))

Зараз ми можемо використати тригонометричну ідентичність arctan(a) + arctan(b) = arctan((a+b)/(1-ab)):

π/2 - arctan(1/(2x+1)) = arctan((-1+(-1))/(1-(-1)(-1/(2x+1))))

π/2 - arctan(1/(2x+1)) = arctan((-2x)/(2x+2))

Тепер ми можемо застосувати тангенс обох сторін рівняння:

tan(π/2 - arctan(1/(2x+1))) = tan(arctan((-2x)/(2x+2)))

Так як tan(π/2 - α) = 1/tan(α), маємо:

1/tan(arctan(1/(2x+1))) = (-2x)/(2x+2)

Так як tan(arctan(x)) = x, маємо:

1/(1/(2x+1)) = (-2x)/(2x+2)

Зараз ми можемо розв'язати рівняння для x:

2x + 1 = (-2x)(2x+2)

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

2x + 1 = -4x^2 - 4x

Переносимо всі члени рівняння на одну сторону:

4x^2 + 6x + 1 = 0

Тепер ми можемо спробувати розв'язати це квадратне рівняння. Візьмемо до уваги, що це рівняння не має раціональних коренів, тому ми залишаємо його у такому вигляді.

Отже, розв'язок цього рівняння буде:

2x + 1 = (-2x)(2x+2) => 4x^2 + 6x + 1 = 0

Застосуйте квадратне рівняння, щоб знайти значення x.