Question

Обчисліть значення похідної функції f(x)= cos3 x у точці x0= π\6​

Answer 1

Ответ:

-9/8

Объяснение:

$f`(x) = -3sinxcos^2x$

$f`(pi/6) = -\frac{9}{8}$

Answer 2

Для обчислення похідної функції $f(x) = \cos^3 x$ у точці $x_0 = \frac{\pi}{6}$ використовуємо правило диференціювання складеної функції (правило ланцюжка):

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Де $f'(x)$ - похідна функції $f(x)$, а $g'(x)$ - похідна функції $g(x)$.

У нашому випадку $f(x) = \cos^3 x$ і $g(x) = x$. Похідна функції $f(x)$ є $f'(x) = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x)$.

Знаючи це, обчислюємо похідну функції $f(x)$ у точці $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$$\begin{align*} f'(x) &= 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) \\ f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 3 \cos^2 \left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot (-\sin \frac{\pi}{6}) \\ &= 3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -\frac{9}{8} \end{align*}$$

Таким чином, значення похідної функції $f(x) = \cos^3 x$ у точці $x_0 = \frac{\pi}{6}$ дорівнює $-\frac{9}{8}$.