Question

обчисліть значення похідної функції f у точці x0 : обчисліть значення похідної функції f у точці x0. f(x)=x-ln x,x0=3​

Answer 1

Ответ:

$\frac{2}{3}$

Объяснение:

$f(x)=x-lnx\\x_0=3\\f`(x_0)=?\\\\f`(x)=(x-lnx)`=1-\frac{1}{x}\\\\f`(x_0)=f`(3)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Answer 2

Для того чтобы вычислить значение производной функции f в точке x0, необходимо воспользоваться определением производной. По определению, производная функции f в точке x0 равна пределу отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении этого изменения к нулю.

Для функции f(x)=x-ln(x) найдем значение производной в точке x0=3. Для этого вычислим предел:

f'(x0) = lim(h->0) (f(x0+h) - f(x0)) / h

где h - изменение аргумента.

Вычислим f(x0+h) и f(x0):

f(x0+h) = (x0+h) - ln(x0+h) = (3+h) - ln(3+h)

f(x0) = x0 - ln(x0) = 3 - ln(3)

Подставим значения в предел:

lim(h->0) ((3+h) - ln(3+h) - (3 - ln(3))) / h

Раскроем скобки:

lim(h->0) (h - ln(3+h) + ln(3)) / h

Проведем алгебраические преобразования:

lim(h->0) (h/h - ln(3+h)/h + ln(3)/h)

lim(h->0) (1 - ln(3+h)/h + ln(3)/h)

Теперь найдем пределы отдельных слагаемых:

Предел первого слагаемого равен 1.

Предел второго слагаемого можно найти, заменяя переменную 3+h на 0 и используя формулу предела ln(x)/x при x->0:

lim(h->0) ln(3+h)/h = ln(3)/0 = ∞

Итак, 1 - ∞ + ln(3)/h.

Получили, что предел производной в точке x0=3 не существует. Это означает, что функция f(x)=x-ln(x) не имеет производной в точке x0=3.