Question

Сума трьох чисел , які утворюють арифметичну прогресію , дорівнює 90. Якщо від цих чисел відняти відповідно 7 , 18 і 2 , то отримані числа утворять геометричну прогресію. Знайдіть дані числа

Answer 1

Ответ:

10; 30; 50 или 55; 30; 5

Объяснение:

Сумма трех чисел, которые образуют арифметическую прогрессию, равна 90. Если от этих цифр вычесть соответственно 7, 18 и 2, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите данные числа .

Решение

Пусть это будут числа a, b, c. a+b+c=90

a, b, c образуют арифметическую прогрессию⇒a+c=2b

2b+b=90

3b=90

b=30

a+c=90-b=90-30=60⇒c=60-a

числа a-7, b-18, c-2 образуют геометрическую прогрессию⇒

(a-7)(c-2)=(b-18)²=(30-18)²=144

(a-7)(60-a-2)=144

(a-7)(58-a)=144

58a-a²-406+7a=144

a²-65a+550=0

D=4225-2200=2025=45²

a₁=(65-45)/2=10⇒c₁=60-a₁=60-10=50

a₂=(65+45)/2=55⇒c₂=60-a₂=60-55=5

Оба ответа удовлетворяют условию задачи

Answer 2

Позначимо перше число в арифметичній прогресії як "a", а різницю прогресії як "d". Тоді два інші числа будуть "a + d" і "a + 2d".

За умовою задачі, сума трьох чисел арифметичної прогресії дорівнює 90:

a + (a + d) + (a + 2d) = 90

Зведемо рівняння:

3a + 3d = 90

a + d = 30

Тепер, коли ми знаємо "a + d", можемо знайти самі числа, які утворюють арифметичну прогресію.

Згідно з умовою, якщо від цих чисел відняти відповідно 7, 18 і 2, то отримані числа утворять геометричну прогресію.

Позначимо ці числа як "b", "c" і "d".

Таким чином, отримуємо такі рівняння:

b = a - 7

c = a + d - 18

d = a + 2d - 2

Підставимо значення "a + d", яке ми знайшли раніше:

b = 30 - 7 = 23

c = 30 + 30 - 18 = 42

d = 30 + 2 * 30 - 2 = 88

Таким чином, числа, які утворюють арифметичну прогресію, є 30, 23 і 42, а коли відповідно відняти 7, 18 і 2, отримаємо геометричну прогресію з чисел 23, 12 і 88.