Question

Решить дифференциальные уравнения высших порядков, требующих понижения порядка. y''' xlnx=y''

Answer 1

Ответ:

y'''*x*ln(x)=y''  

Zamena:  

y''=p  

p'*x*ln(x) = p  

dp/p = dx/x*1/ln(x)  

ln(p) = ln ln(x)  

p = C*ln(x)  

y'' = C1*ln(x)  

y' = C2 + C1*(x*ln(x)-x)  

y = C3+C2*x + C1*( 1/2*x^2*ln(x) - 1/4*x^2-1/2*x^2)  

= C3 +C2*x + C*(x^2*ln(x) -3/2*x^2)

Объяснение:Все?>

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения высшего порядка, которое требует понижения порядка, мы сначала должны представить его в виде системы уравнений меньшего порядка. Для этого введем дополнительные переменные:

Пусть y = y(x), y' = dy/dx, y'' = d^2y/dx^2, y''' = d^3y/dx^3. Теперь давайте представим уравнение:

y''' xlnx = y''

Введем дополнительные переменные:

Пусть z = y', w = y''. Теперь у нас будет следующая система уравнений:

1. y' = z
2. y'' = w
3. y''' = d^3y/dx^3 = d/dx (y'') = d/dx (w) = w'

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

w' * x * ln(x) = w

Теперь получили уравнение, содержащее только w и его производные. Решим его:

Сначала выразим w':

w' = w / (x * ln(x))

Теперь получили уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем всё содержащее w в одну сторону уравнения, а x и ln(x) в другую:

w' - w / (x * ln(x)) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью метода разделения переменных. Для этого переместим все производные w на одну сторону, а все переменные содержащие x на другую:

(w' - w) / w = 1 / (x * ln(x))

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫ (w' - w) / w dx = ∫ 1 / (x * ln(x)) dx

Интегрирование левой части даст нам ln|w|, а правой стороны - ∫ 1 / (x * ln(x)) dx = ln|ln(x)| + C, где C - константа интегрирования.

Теперь получаем:

ln|w| = ln|ln(x)| + C

Где |w| и |ln(x)| обозначают абсолютные значения. Теперь избавимся от логарифма на левой стороне, возведя обе стороны в экспоненту:

|w| = e^(ln|ln(x)| + C)

Заметим, что абсолютные значения могут быть удалены, так как выражение внутри логарифма всегда положительное для положительных x.

Таким образом, получим:

w = e^(ln|ln(x)| + C)

Теперь нужно решить уравнение для z. По определению z = y':

z = y' = ∫ w dx = ∫ (e^(ln|ln(x)| + C)) dx

Теперь проинтегрируем правую часть. При интегрировании выражения e^u, где u = ln|ln(x)| + C, мы получим e^u. Заменим u на ln|ln(x)| + C:

z = e^(ln|ln(x)| + C) + D

Где D - константа интегрирования.

Теперь у нас есть выражения для y, y', и y''. Их можно получить, интегрируя w и z еще раз:

y = ∫ z dx = ∫ (e^(ln|ln(x)| + C) + D) dx

Теперь проинтегрируем правую часть. При интегрировании e^u мы получим e^u, где u = ln|ln(x)| + C, и интегрировании константы D мы получим Dx:

y = e^(ln|ln(x)| + C) * x + Dx + E

Где E - константа интегрирования.

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравнения высшего порядка, требующего понижения порядка:

y = e^(ln|ln(x)| + C) * x + Dx + E

где C, D и E - произвольные константы.