Question

А) Реши уравнение 20sin^2x+sin2x−10cos^2x=4 б) Посчитай количество корней, принадлежащих отрезку [5π;17π/2]

Answer 1

///////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения:

Уравнение: $20\sin^2x + \sin 2x - 10\cos^2x = 4$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования уравнения. Начнем с замены $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$20\sin^2x + 2\sin x \cos x - 10\cos^2x = 4$

Теперь можем поделить все члены уравнения на 2:

$10\sin^2x + \sin x \cos x - 5\cos^2x = 2$

Теперь заменим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$:

$10(1 - \cos^2x) + \sin x \cos x - 5\cos^2x = 2$

Раскроем скобки:

$10 - 10\cos^2x + \sin x \cos x - 5\cos^2x = 2$

Переносим все члены в одну сторону:

$15\cos^2x - \sin x \cos x + 8 = 0$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\cos x$. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 15$, $b = -\sin x$, $c = 8$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, уравнение имеет два корня; если $D = 0$, уравнение имеет один корень; если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Теперь перейдем ко второму пункту:

Б) Для количества корней на отрезке $[5\pi, \frac{17\pi}{2}]$, мы можем воспользоваться интуицией о функциях синуса и косинуса.

На этом отрезке $\sin x$ остается в пределах [-1, 1], а $\cos x$ остается в пределах [-1, 1].

Таким образом, для условия $15\cos^2x - \sin x \cos x + 8 = 0$, значения $15\cos^2x$ и $\sin x \cos x$ будут ограничены. А так как дискриминант будет определять, сколько корней у квадратного уравнения, то мы можем рассмотреть его варианты для разных значений дискриминанта $D$.

После решения уравнения и нахождения корней можно определить, сколько из них принадлежит отрезку $[5\pi, \frac{17\pi}{2}]$.

Теперь, давайте рассмотрим полученное квадратное уравнение и найдем его корни, а также проанализируем количество корней на заданном отрезке.