Question

Найдите производную функции: a) x^5+2x^2-5b) 2x+2/xc) 6 √ x d) 2sin xЖелательно с объяснением.

Answer 1

Ответ:фоточка

Объяснение:

Таблица производных

Answer 2

Давайте найдем производные данных функций по отдельности:

a) Функция: $f(x) = x^5 + 2x^2 - 5$

Для нахождения производной этой функции, используем правило дифференцирования степенной функции. Для функции $x^n$, производная равна $n \cdot x^{n-1}$.

Производная функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5) = 5x^4 + 4x.$

b) Функция: $f(x) = \frac{2x + 2}{x}$

Для нахождения производной сложной функции, воспользуемся правилами дифференцирования. В данном случае у нас есть отношение двух функций $g(x) = 2x + 2$ и $h(x) = x$, и наша функция равна $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$.

Производная функции $f(x)$ по правилу дифференцирования отношения функций (правило дроби): $f'(x) = \frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}.$

Теперь найдем производные $g'(x)$ и $h'(x)$: $g'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 2) = 2,$ $h'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1.$

Теперь подставим значения производных в формулу для $f'(x)$: $f'(x) = \frac{x \cdot 2 - (2x + 2) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x - 2x - 2}{x^2} = \frac{-2}{x^2}.$

c) Функция: $f(x) = 6\sqrt{x}$

Для нахождения производной функции, содержащей корень, применим правило дифференцирования для функции $g(x) = \sqrt{x}$ и умножим на коэффициент $6$.

Производная функции $f(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции с $n = \frac{1}{2}$ (функция корня): $f'(x) = 6 \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}.$

d) Функция: $f(x) = 2\sin{x}$

Для нахождения производной функции синуса, используем правило дифференцирования элементарных функций.

Производная функции $f(x)$ по правилу дифференцирования синуса: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin{x}) = 2\cos{x}.$