Question

Найдите остаток от деления суммы 12 в степени 34+34 в степени 56+567 в степени 77+789 в степени 99 на 5.

Answer 1

$(12^{34}+34^{ 56}+567^{77}+789^{99}):5$

Воспользуемся сравнением по модулю 5. Каждое число можно заменить любым другим, дающим при делении на 5 такой же остаток.

Для удобства, сначала поработаем с каждым из чисел отдельно:

$12^{34}=(2\cdot5+2)^{34}\equiv2^{34}=4^{17}=(5-1)^{17}\equiv(-1)^{17}=-1\pmod{5}$

$34^{56}=(6\cdot5+4)^{56}\equiv4^{56}=(5-1)^{56}\equiv(-1)^{56}=1\pmod{5}$

$567^{77}=(56\cdot2\cdot5+5+2)^{77}\equiv2^{77}=2\cdot2^{76}=2\cdot4^{38}=$

$=2\cdot(5-1)^{38}\equiv2\cdot(-1)^{38}=2\cdot1=2\pmod{5}$

$789^{99}=(78\cdot2\cdot5+5+4)^{99}\equiv4^{99}=(5-1)^{99}\equiv(-1)^{99}=-1\pmod{5}$

Таким образом:

$12^{34}+34^{ 56}+567^{77}+789^{99}\equiv-1+1+2-1=1\pmod{5}$

Ответ: 1

Answer 2

Давайте разберёмся с этим выражением:

Сначала посчитаем сумму всех чисел, возведённых в указанные степени: $12^{34} + 34^{56} + 567^{77} + 789^{99}$.

Однако, вычислить это выражение напрямую слишком сложно из-за огромных чисел в степенях. Но мы можем воспользоваться свойством остатка от деления, а именно: $(a + b) \mod c = (a \mod c + b \mod c) \mod c$.

Таким образом, мы можем посчитать остаток от деления каждого из чисел в степенях на 5, а затем сложить их и взять остаток от деления получившейся суммы на 5:

$$(12^{34} \mod 5 + 34^{56} \mod 5 + 567^{77} \mod 5 + 789^{99} \mod 5) \mod 5.$$

Теперь вычислим остатки от деления для каждого числа:

$$\begin{align*} 12^{34} \mod 5 & = 1, \\ 34^{56} \mod 5 & = 1, \\ 567^{77} \mod 5 & = 2, \\ 789^{99} \mod 5 & = 4. \end{align*}$$

Теперь сложим остатки:

$1 + 1 + 2 + 4 = 8$.

И наконец, найдем остаток от деления полученной суммы на 5:

$8 \mod 5 = 3$.

Итак, остаток от деления суммы $12^{34} + 34^{56} + 567^{77} + 789^{99}$ на 5 равен 3.