Question

Каковы должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей? Ответ проверьте с помощью второй производной. Пожалуйста помогите

Answer 1

Решение задачи:

1) Найдем одну из сторон для прямоугольника:

P = 2(a + b),

120 = 2 (a + b),

60 = a + b,

b = 60 - а.

2) Площадь:

S = ab = a * (60 - а) = 60a - а2,

S = 60a - а2, функция с одной неизвестной, а.

3) Применяем производную:

S' = (60a - а2)' = 60 - 2a, приравниваем S' = 0,

60 - 2a = 0,

2а = 60,

а = 60 : 2,

а = 30 - критическая точка, а максимум функции в этой точке:

S(30) = 60 * 30 - 302 = 1800 - 900 = 900;

b = 60 - а = 60 - 30 = 30.

Проверка: 120 = 2(30 + 30).

Ответ: стороны прямоугольника должны быть по 30 м

Answer 2

Для решения этой задачи, мы должны использовать оптимизацию функции площади прямоугольника при заданном периметре. Площадь прямоугольника выражается как произведение его длины (a) и ширины (b): S = a * b.

Периметр P прямоугольника можно выразить как: P = 2a + 2b.

Из условия задачи известно, что периметр равен 120 м: 2a + 2b = 120.

Выразим одну из переменных, например, b, через другую: b = (120 - 2a) / 2 = 60 - a.

Теперь мы можем подставить это выражение для b в формулу площади и получить функцию площади прямоугольника относительно одной переменной (a):

S(a) = a * (60 - a).

Раскроем скобки: S(a) = 60a - a^2.

Для того чтобы найти максимум функции S(a), возьмем первую производную и приравняем её к нулю:

S'(a) = 60 - 2a = 0.

Отсюда получаем a = 30.

Теперь, чтобы убедиться, что это действительно максимум, нужно использовать вторую производную:

S''(a) = -2 < 0.

Так как вторая производная отрицательна, это подтверждает, что a = 30 действительно является точкой максимума.

Теперь мы можем найти значение b, используя выражение b = 60 - a:

b = 60 - 30 = 30.

Итак, оптимальные стороны прямоугольника, при которых его площадь наибольшая при заданном периметре, равны 30 м и 30 м.