Question

Каковы должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей? Ответ проверьте с помощью второй производной. Пожалуйста помогите.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Решение задачи:

1) Найдем одну из сторон для прямоугольника:

P = 2(a + b),

120 = 2 (a + b),

60 = a + b,

b = 60 - а.

2) Площадь:

S = ab = a * (60 - а) = 60a - а2,

S = 60a - а2, функция с одной неизвестной, а.

3) Применяем производную:

S' = (60a - а2)' = 60 - 2a, приравниваем S' = 0,

60 - 2a = 0,

2а = 60,

а = 60 : 2,

а = 30 - критическая точка, а максимум функции в этой точке:

S(30) = 60 * 30 - 302 = 1800 - 900 = 900;

b = 60 - а = 60 - 30 = 30.

Проверка: 120 = 2(30 + 30).

Ответ: стороны прямоугольника должны быть по 30 м

Answer 2

Для определения размеров прямоугольника с максимальной площадью, мы можем воспользоваться методом математического анализа. Пусть длина прямоугольника будет равна "a" метров, а ширина - "b" метров. Тогда периметр P выражается следующим образом:

P = 2a + 2b.

У нас дано, что периметр P равен 120 метрам:

2a + 2b = 120.

Это уравнение можно упростить:

a + b = 60.

Теперь площадь S прямоугольника равна произведению его длины и ширины:

S = ab.

Мы хотим найти значения a и b, при которых площадь S будет наибольшей. Мы можем использовать уравнение a + b = 60, чтобы выразить, например, b через a:

b = 60 - a.

Теперь мы можем подставить это выражение для b в формулу площади:

S = a(60 - a) = 60a - a^2.

Для нахождения максимума площади, мы можем взять производную S по a и приравнять её к нулю:

dS/da = 60 - 2a = 0.

Отсюда получаем значение a:

2a = 60, a = 30.

Теперь, подставив значение a в уравнение a + b = 60, найдем b:

30 + b = 60, b = 30.

Таким образом, оптимальные размеры прямоугольника, при которых его площадь будет наибольшей, равны a = 30 м и b = 30 м.

Для проверки, что это действительно максимум, мы можем взять вторую производную площади и подставить значение a:

d^2S/da^2 = -2 < 0.

Так как вторая производная отрицательная, это подтверждает, что у нас есть максимум площади, а не минимум или точка перегиба.