Question

ДАЮ 70 БАЛЛОВ!!! Шостий член геометричної прогресії складає 60 % від третього члена тієї ж прогресії, а їх добуток дорівнює 15. Скільки потрібно взяти членів тієї ж прогресії, щоб їхня сума дорівнювала 30.

Answer 1

Потрібно мінімум 3 члени

Answer 2

Давайте розглянемо дану геометричну прогресію і розгадаємо завдання крок за кроком.

Нехай перший член прогресії буде a, а знаменник (збільшення між членами) буде r.

Тоді шостий член прогресії буде: a * r^5

Третій член прогресії буде: a * r^2

За умовою задачі маємо наступне співвідношення: a * r^5 = 0.6 * (a * r^2)

Можемо спростити це рівняння: r^3 = 0.6

Тепер, давайте знайдемо значення a за другим співвідношенням: a * r^5 * a * r^2 = 15

Скористаємося рівнянням r^3 = 0.6, щоб виразити r^5: r^5 = (r^3)^5 = 0.6^5

Тоді рівняння можна переписати як: a * (0.6^5) * a * r^2 = 15

a^2 * (0.6^5) * r^2 = 15

a^2 * 0.07776 * r^2 = 15

a^2 * r^2 = 15 / 0.07776

a^2 * r^2 ≈ 192.3077

Тепер маємо систему рівнянь: r^3 = 0.6 a^2 * r^2 ≈ 192.3077

Знайдемо значення r і a: r ≈ 0.828 a ≈ √(192.3077 / 0.828^2) ≈ 7.18

Тепер, ми можемо знайти суму n членів геометричної прогресії, використовуючи формулу суми геометричної прогресії: S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Маємо S_n = 30. Підставляючи відомі значення, отримаємо:

30 = 7.18 * (1 - 0.828^n) / (1 - 0.828)

Розв'яжемо рівняння відносно n:

(1 - 0.828^n) / 0.172 ≈ 30 / 7.18

1 - 0.828^n ≈ 0.172 * (30 / 7.18)

0.828^n ≈ 1 - 0.172 * (30 / 7.18)

n * log(0.828) ≈ log(1 - 0.172 * (30 / 7.18))

n ≈ log(1 - 0.172 * (30 / 7.18)) / log(0.828)

n ≈ 2.28

Отже, для того щоб сума n членів геометричної прогресії дорівнювала 30, потрібно взяти близько 2 члени.

Зверніть увагу, що результат може бути округлений до більшого цілого числа, так як у нас може бути лише ціле число членів прогресії.