Question

ПОМОГИТЕ, пожалуйста!!! Найдите первообразную F(x) для функции f(x) =2+sin4x, если F(pi/4)=-3pi. В ответе укажите значение F(7pi/4).

Answer 1

Ответ:

Объяснение: f(x)=2+Sin4x, ⇒ F(x) = 2x - (Cos4x)/4 +C.                                                                Если F(π/4)=3π, то получим: 3π= 2·π/4 - (Cosπ)/4 +C, ⇒                                        3π = π/2 + 1/4 + C ⇒  C= 3π-π/2 -1/4 = 5π/2 - 1/4, ⇒  F(x) = 2x - (Cos4x)/4 +5π/2 - 1/4.   Тогда F(7π/4)=2·7π/4 - (Cos7π)/4  +5π/2 - 1/4 = 7π/2 +1/4+ 5π/2 - 1/4 = 6π     Отв: F(7π/4)=6π

Answer 2

Для нахождения первообразной F(x) функции f(x) = 2 + sin(4x), мы должны найти функцию, производная которой равна данной функции f(x).

Первообразная функции f(x) = 2 + sin(4x) имеет вид:

F(x) = ∫(2 + sin(4x)) dx

Чтобы проинтегрировать данную функцию, нужно интегрировать оба ее слагаемых по отдельности. Так как интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную, то:

∫2 dx = 2x + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Для интеграла ∫sin(4x) dx можно воспользоваться методом подстановки:

Пусть u = 4x, тогда du = 4 dx, или dx = du/4. Подставим:

∫sin(4x) dx = ∫sin(u) * (du/4) = (1/4) * ∫sin(u) du = -(1/4) * cos(u) + C2, где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь соберем обратно:

F(x) = 2x - (1/4) * cos(4x) + C.

Теперь найдем значение постоянной интегрирования C, используя условие F(pi/4) = -3pi:

F(pi/4) = 2 * (pi/4) - (1/4) * cos(4 * (pi/4)) + C = pi/2 - (1/4) * cos(pi) + C = pi/2 + (1/4) + C = -3pi.

Теперь выразим C:

C = -3pi - pi/2 - (1/4) = -6pi/2 - pi/2 - 1/4 = -7pi/2 - 1/4.

Таким образом, первообразная F(x) функции f(x) равна:

F(x) = 2x - (1/4) * cos(4x) - 7pi/2 - 1/4.

Теперь найдем значение F(7pi/4):

F(7pi/4) = 2 * (7pi/4) - (1/4) * cos(4 * (7pi/4)) - 7pi/2 - 1/4 = 7pi/2 - (1/4) * cos(14pi/4) - 7pi/2 - 1/4 = 7pi/2 - (1/4) * cos(7pi/2) - 7pi/2 - 1/4 = 7pi/2 - (1/4) * 0 - 7pi/2 - 1/4 = 7pi/2 - 0 - 7pi/2 - 1/4 = -1/4.

Таким образом, F(7pi/4) = -1/4.