Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y= 3-x y = -x2+2x+3,прошуу помогите​

Answer 1

$\left.\begin{matrix}\begin{matrix}f(x)=3-x\\ g(x)=-x^2+2x+3\end{matrix}\end{matrix}\right|\Rightarrow f(x)=g(x)\Rightarrow x=\left \{ 0;3 \right \}\\\int_{0}^{3}\left ( g(x)-f(x) \right )dx=\int_{0}^{3}(3x-x^2)dx=\left.\begin{matrix}\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right|_0^3=4.5$

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми линиями, нужно найти точки их пересечения, а затем использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

Сначала найдем точки пересечения кривых, то есть значения x, при которых y обоих уравнений равны:

1. Уравнение первой кривой: y = 3 - x
2. Уравнение второй кривой: y = -x^2 + 2x + 3

Приравняем оба выражения для y и решим уравнение:

3 - x = -x^2 + 2x + 3

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 + 3x - x - 3 = 0

x^2 + 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В данном случае: a = 1, b = 2, c = -3

x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * -3)) / (2 * 1)

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (-2 ± √16) / 2

x = (-2 ± 4) / 2

Таким образом, получаем два значения x: x₁ = 1 и x₂ = -3.

Теперь мы знаем, что границы интегрирования для вычисления площади будут от -3 до 1.

Интеграл для вычисления площади между кривыми выглядит следующим образом:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

где a = -3, b = 1. Верхняя кривая - это y = 3 - x, а нижняя кривая - это y = -x^2 + 2x + 3.

Подставляем значения и интегрируем:

Площадь = ∫[-3, 1] (3 - x - (-x^2 + 2x + 3)) dx Площадь = ∫[-3, 1] (x^2 - 3x) dx

Интегрируя это выражение, получим площадь фигуры между заданными кривыми.