Question

Определить значение остальных тригонометрических функций если tga =-16/63

Answer 1

Ответ:

$ctg\alpha=-\frac{63}{16}$

$cos\alpha=\pm\frac{63}{65}$

$sin\alpha=\mp\frac{16}{65}$

Объяснение:

Дано:

$tg(\alpha)=-\frac{16}{63}$

Решение:

Запишем необходимые тригонометрические связи:

$ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}$

$1+tg^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha}$ , откуда следует:  $cos\alpha=\pm \frac{1}{\sqrt{1+tg^2\alpha}}$

$1+ctg^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha}$ , откуда следует:  $sin\alpha=\mp \frac{1}{\sqrt{1+ctg^2\alpha}}$

Замечание: знаки у синуса и косинуса противоположны. Это следует из условия задачи (значения тангенса отрицательное)

Подставим численные значения:

$ctg\alpha=\frac{1}{-\frac{16}{63} } =-\frac{63}{16}$

$cos\alpha=\pm \frac{1}{\sqrt{1+(-\frac{16}{63})^2}}=\pm \frac{\sqrt{63^2}}{\sqrt{63^2+16^2}}=\pm\frac{63}{65}$

$sin\alpha=\mp \frac{1}{\sqrt{1+(-\frac{63}{16})^2}}=\mp \frac{\sqrt{16^2}}{\sqrt{16^2+63^2}}=\mp\frac{16}{65}$

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся определением тангенса:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.$

Мы знаем, что $\tan(\alpha) = -\frac{16}{63}$. Теперь давайте воспользуемся тригонометрическим тождеством:

$\tan^2(\alpha) + 1 = \sec^2(\alpha).$

Подставим значение тангенса:

$\left(-\frac{16}{63}\right)^2 + 1 = \sec^2(\alpha).$

Вычислим:

$\frac{256}{3969} + 1 = \frac{256 + 3969}{3969} = \frac{4225}{3969}.$

Теперь найдем значение секанса:

$\sec^2(\alpha) = \frac{4225}{3969}.$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон:

$\sec(\alpha) = \frac{\sqrt{4225}}{\sqrt{3969}} = \frac{65}{63}.$

Теперь мы можем найти значение косеканса:

$\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)}.$

Используем определение синуса в сочетании с нашим выражением для тангенса:

$\csc(\alpha) = \frac{1}{\sin(\alpha)} = \frac{1}{\frac{\tan(\alpha)}{\cos(\alpha)}} = \frac{\cos(\alpha)}{\tan(\alpha)}.$

Подставим значения синуса и тангенса:

$\csc(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{-\frac{16}{63}} = -\frac{63}{16} \cdot \cos(\alpha).$

Наконец, остается найти значение котангенса:

$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{-\frac{16}{63}} = -\frac{63}{16}.$

Итак, получаем значения остальных тригонометрических функций:

$\sec(\alpha) = \frac{65}{63},$ $\csc(\alpha) = -\frac{63}{16} \cdot \cos(\alpha),$ $\cot(\alpha) = -\frac{63}{16}.$