Question

1) sin^2x+2sinxcosx-3cos^2x=0 2) 2sin(x/4-pi/3)= корень из 3 20 баллов

Answer 1

Ответ:

Обожаю тригонометрию

Объяснение:

1) делим на cos^2 x

tg^2 x+2tgx-3=0

D=4+12=16

tgx=-1 и tgx=1

x=3π/4+πk, k принадлежит z, это ответ

x=π/4+πk, k принадлежит z, это ответ

2) sin(x/4-π/3)=√3/2

x/4-π/3=(-1)^k*π/6+πk, k принадлежит z

x/4=(-1)^k*π/6+π/3+πk, k принадлежит z

x=(-1)^k*2π/3+4π/3+4πk, k принадлежит z, это ответ

Answer 2

Давайте решим данные уравнения:

1. Уравнение: $\sin^2x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2x = 0$

Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить это уравнение. Заметим, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$, и мы можем также выразить $2\sin x \cos x$ в терминах $\sin 2x$:

$\sin^2x + \cos^2x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2x = 1 + 2\sin x \cos x - 3\cos^2x = 0$

$\sin x \cos x = \frac{3}{2}\cos^2x - \frac{1}{2}$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 3\cos^2x - 1$

Теперь мы можем решить уравнение $\sin 2x = 0$:

$3\cos^2x - 1 = 0$

$\cos^2x = \frac{1}{3}$

$\cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

2. $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

2. Уравнение: $2\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

Для решения этого уравнения мы поделим обе стороны на 2:

$\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем тригонометрическое тождество $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin\frac{x}{4}\cos\frac{\pi}{3} - \cos\frac{x}{4}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{2}\sin\frac{x}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\frac{x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{x}{4} - \sqrt{3}\cos\frac{x}{4} = \sqrt{3}$

Далее, мы можем использовать тригонометрическое тождество для синуса разности:

$\sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$

Теперь, чтобы найти решение для этого уравнения, мы можем выразить $\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6}$ как синус с аргументом $\frac{\pi}{3}$:

$\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

$x = \frac{5\pi}{2} + 8\pi n$, где $n$ - целое число.

Таким образом, у нас есть решение для данного уравнения.