Question

Вычислите: Cos6x + cos8x + 2sin3x * sin5x если sinx = (√3)/3

Answer 1

Ответ

$- \frac{14}{27}$

Answer 2

Давайте начнем с подстановки значения sin(x) = (√3)/3 в выражение:

sin(x) = (√3)/3

Теперь найдем cos(x) с использованием тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:

$\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

Так как sin(x) и cos(x) оба положительны в первом квадранте, мы можем взять положительное значение для cos(x):

$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Теперь мы можем рассчитать значения для остальных тригонометрических функций:

$\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} - 4\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \sqrt{3} - \frac{4\sqrt{3}}{27} = \frac{23\sqrt{3}}{27}$

$\sin(5x) = 5\sin(x) - 20\sin^3(x) + 16\sin^5(x) = 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} - 20\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 + 16\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^5 = \frac{5\sqrt{3}}{3} - \frac{20\sqrt{3}}{27} + \frac{16\sqrt{3}}{243} = \frac{535\sqrt{3}}{243}$

Теперь мы готовы подставить значения sin(3x) и sin(5x) обратно в исходное выражение:

$\cos(6x) + \cos(8x) + 2\sin(3x)\sin(5x) = \cos(6x) + \cos(8x) + 2\left(\frac{23\sqrt{3}}{27}\right)\left(\frac{535\sqrt{3}}{243}\right)$