Question

Реши уравнение x^4−17x^2+16=0 (7x−10)^2−5(7x−10)+6=0. Реши уравнение x−6/(x+18)+(x−18)/x+6=0. В ответе запиши произведение корней уравнения.

Answer 1

Ответ:

Пусть х^2=t

t^2-17t+16=0

По теореме Виета

t1+t2=17 t1=1

t1*t2=16 t2=16

При t=1, x^2=1

x=+-1

При t=16, x^2=16

x=+-4

Ответ: 16

Пусть 7x-10=t

t^2-5t+6=0

По теореме Виета

t1=2

t2=3

При t=2, 7x-10=2

7x=12

x=12/7

При t=3, 7x-10=3

7x=13

x=13/7

Ответ: 156/49

Умножить ур-е на (х+18)(х+6)

(x-6)(x+6)+(x-18)(x+18)=0

x^2-36+x^2-324=0

2*x^2=360

x^2=180

x=+-корень из 180

Ответ 180

Answer 2

Давай рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1. Уравнение: $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$.

   Давайте введем замену: $y = x^2$, тогда уравнение примет вид: $y^2 - 17y + 16 = 0$.

   Решим это квадратное уравнение:

   $y^2 - 17y + 16 = 0$ $(y - 16)(y - 1) = 0$

   Таким образом, имеем два значения для $y$: $y = 16$ и $y = 1$.

   Вернемся к исходной переменной $x$:

   Для $y = 16$: $x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$.

   Для $y = 1$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

   Произведение корней уравнения: $(-4) \cdot 4 \cdot (-1) \cdot 1 = -16$.

2. Уравнение: $(7x - 10)^2 - 5(7x - 10) + 6 = 0$.

   Рассмотрим это уравнение как квадратное по переменной $7x - 10$:

   $(7x - 10)^2 - 5(7x - 10) + 6 = 0$

   Введем замену: $y = 7x - 10$, тогда уравнение примет вид: $y^2 - 5y + 6 = 0$.

   Решим это квадратное уравнение:

   $y^2 - 5y + 6 = 0$ $(y - 3)(y - 2) = 0$

   Таким образом, имеем два значения для $y$: $y = 3$ и $y = 2$.

   Вернемся к исходной переменной $x$:

   Для $y = 3$: $7x - 10 = 3 \Rightarrow x = 13/7$.

   Для $y = 2$: $7x - 10 = 2 \Rightarrow x = 12/7$.

   Произведение корней уравнения: $\frac{13}{7} \cdot \frac{12}{7} = \frac{156}{49}$.

3. Уравнение: $\frac{x - 6}{x + 18} + \frac{x - 18}{x + 6} = 0$.

   Общий знаменатель у дробей: $(x + 18)(x + 6)$.

   Приведем обе дроби к общему знаменателю и сложим их:

   $\frac{(x - 6)(x + 6) + (x - 18)(x + 18)}{(x + 18)(x + 6)} = 0$.

   Раскроем скобки:

   $\frac{x^2 - 36 + x^2 - 324}{(x + 18)(x + 6)} = 0$.

   Упростим числитель:

   $\frac{2x^2 - 360}{(x + 18)(x + 6)} = 0$.

   Теперь у нас есть уравнение:

   $\frac{2(x^2 - 180)}{(x + 18)(x + 6)} = 0$.

   Решение такого уравнения возможно только при $x^2 - 180 = 0$, так как числитель не может быть равен нулю, чтобы дробь обращалась в ноль.

   $x^2 = 180 \Rightarrow x = \pm \sqrt{180} = \pm 6\sqrt{5}$