Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!! Знайдіть шостий член геометричної прогресії, якщо її другий член дорівнює -4, а сума першого і третього членів дорівнює 10.

Answer 1

a₂ = -4  ,  a₁ + a₃ = 10

a₁ + a₃ = a₁ + a₁q² = a₁ ( 1 + q² ) = 10

a₂ = a₁q = -4  ,   a₁ = - 4/q

- 4/q *( 1 + q² ) = 10   ,    -4 - 4q² = 10q   ,   4q² - 10q + 4 = 0  ,

2q² - 5q + 2 = 0  ,   D = 9  ,   q₁ = 1/2  ,   q₂ = 2

1 случай:   a₆ = a₁q⁵ = (-4/q ) * q⁵ = -4q⁴ = -4 * (1/2)⁴ = -4/16 = -1/4

2 случай:   a₆ = -4q⁴ = -4 * 2⁴ = -64

Ответ:   -1/4  или   -64 .

Answer 2

Для геометричної прогресії (ГП) загальний вираз має вигляд:

$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$

де $a_n$ - $n$-й член прогресії, $a_1$ - перший член прогресії, $r$ - знаменник прогресії, $n$ - номер члена прогресії.

Маємо дані: $a_2 = -4$ (другий член) і $a_1 + a_3 = 10$ (сума першого і третього членів).

Знаючи, що $a_2 = a_1 \cdot r$ та $a_1 + a_3 = a_1 \cdot r^0 + a_1 \cdot r^2$, підставимо значення $a_2 = -4$ у перше рівняння:

$-4 = a_1 \cdot r$

Розкривши друге рівняння, отримаємо:

$a_1 + a_1 \cdot r^2 = 10$

Скоротимо $a_1$ з обох боків рівняння:

$1 + r^2 = 10/a_1$

Тепер можемо виразити $r$ з першого рівняння:

$r = -4/a_1$

Підставляючи це значення $r$ у друге рівняння:

$1 + (-4/a_1)^2 = 10/a_1$

Спростимо рівняння:

$1 + 16/a_1^2 = 10/a_1$

Помножимо обидві сторони на $a_1^2$:

$a_1^2 + 16 = 10a_1$

Перенесемо все в одну сторону:

$a_1^2 - 10a_1 + 16 = 0$

Тепер ми маємо квадратне рівняння відносно $a_1$. Його можна розв'язати за допомогою квадратного кореня:

$a_1 = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$a_1 = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

$a_1 = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}$

$a_1 = \frac{10 \pm 6}{2}$

Отже, $a_1 = 8$ або $a_1 = 2$.

Таким чином, маємо два можливих варіанти для першого члена $a_1$: 8 або 2.

Якщо $a_1 = 8$, то $r = -4/8 = -0.5$, і шостий член прогресії буде:

$a_6 = a_1 \cdot r^{(6-1)} = 8 \cdot (-0.5)^5 = 8 \cdot 0.03125 = 0.25$