Question

Найдите точку максимума функции y=2x³-21x²+36x-4

Answer 1

Ответ:

(1;13)

Объяснение:

y=2x³-21x²+36x-4

экстремумы(макс или мин) , ищутся через корни ур. у'(x)=0

$></p> <p></p> <p><img src=$

проверим какой из них макс, какой мин

$y''(x_1)>0\\y''(x_2)$

$y''(x_1)0$

значит x2- локальный максимум, х1 - локальный минимум

y(x2)=13

$y(x_1)=13$

значит (1;13) -локальный максимум

(глобального макса нет)

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = 2x³ - 21x² + 36x - 4 необходимо найти первую производную этой функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем первую производную функции y по x: y' = 6x² - 42x + 36

2. Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение: 6x² - 42x + 36 = 0

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

3. Вычислим дискриминант D: D = (-42)² - 4 * 6 * 36 = 1764 - 864 = 900

4. Рассмотрим значения дискриминанта:

   a) Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. Найдем корни, используя формулу: x₁ = (-(-42) + √900) / (2 * 6) = (42 + 30) / 12 = 72 / 12 = 6

   x₂ = (-(-42) - √900) / (2 * 6) = (42 - 30) / 12 = 12 / 12 = 1

   Мы получили два значения x₁ = 6 и x₂ = 1.

   b) Если D = 0, то уравнение имеет один корень. Но так как D > 0, это не применимо в данном случае.

   c) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Но так как D > 0, это не применимо в данном случае.

Таким образом, мы получили два значения x₁ = 6 и x₂ = 1, которые являются стационарными точками функции y = 2x³ - 21x² + 36x - 4. Для определения, является ли каждая из них точкой максимума или минимума, можно проанализировать вторую производную.

5. Найдем вторую производную функции y по x: y'' = 12x - 42

6. Подставим найденные значения x₁ = 6 и x₂ = 1 во вторую производную:

   a) y''(6) = 12 * 6 - 42 = 72 - 42 = 30 y''(6) > 0, поэтому точка x₁ = 6 является точкой минимума.

   b) y''(1) = 12 * 1 - 42 = 12 - 42 = -30 y''(1) < 0, поэтому точка x₂ = 1 является точкой максимума.

Таким образом, точка максимума функции y = 2x³ - 21x² + 36x - 4 находится при x = 1. Чтобы найти соответствующее значение y, подставим x = 1 в исходную функцию:

y = 2 * 1³ - 21 * 1² + 36 * 1 - 4 = 2 - 21 + 36 - 4 = 13

Таким образом, точка максимума функции y = 2x³ - 21x² + 36x - 4 находится в точке (1, 13).