Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции у= х^3+3х^2+5 на промежутке [ –1 ; 3 ]

Answer 1

Дана  функция у= х^3+3х^2+5.

Находим производную и приравниваем 0.

3х² + 6х = 0   или   3х(х + 2) = 0.

Имеем 2 корня: х = 0   и  х = -2.

Находим знаки производной на промежутках:

х =    -3        -2        -1         0          3

y' =     9      0         -3     0        45

Как видим, в точке х = -2 максимум функции, а х = 0 это минимум.

Находим значения функции в точках экстремумов и на концах заданного промежутка.

х =  -1         0          3

у =   7   5       59 .

Ответ: на промежутке [ –1 ; 3 ] минимальное значение функции 5, а максимальное 59.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y = x^3 + 3x^2 + 5 на промежутке [-1; 3], мы должны проанализировать экстремумы функции в данном интервале.

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю: y = x^3 + 3x^2 + 5 y' = 3x^2 + 6x

   Чтобы найти критические точки, решим уравнение: 3x^2 + 6x = 0 Выносим общий множитель: 3x(x + 2) = 0

   Таким образом, критические точки находятся в x = 0 и x = -2.

2. Оценим значение функции в критических точках и на концах интервала: a) При x = -1: y = (-1)^3 + 3*(-1)^2 + 5 = -1 + 3 + 5 = 7

   b) При x = 0: y = 0^3 + 3*0^2 + 5 = 5

   c) При x = -2: y = (-2)^3 + 3*(-2)^2 + 5 = -8 + 12 + 5 = 9

   d) При x = 3: y = 3^3 + 3*3^2 + 5 = 27 + 27 + 5 = 59

Итак, наименьшее значение функции на интервале [-1; 3] равно 5 (достигается в точке x = 0), а наибольшее значение функции равно 59 (достигается в точке x = 3).