Question

Даю 50 балов Знайти суму нескінченної спадної геометричної прогресії (b n ), якщо q=1/3; b4=1/27

Answer 1

$b_4=b_1q^3\Rightarrow b_1=b_4 : q^3 = \frac{1}{27}:\frac{1}{27}=1.$

Сумму найдем по формуле

$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3} }=1:\frac{2}{3}=\frac{3}{2}=1.5$

Answer 2

Для знаходження суми нескінченної спадної геометричної прогресії (bₙ) з відомим першим членом (b₁) та знаменником (q), використовується наступна формула:

$S = \frac{b_1}{1 - q},$

де $S$ - сума геометричної прогресії.

У вашому випадку q = 1/3, але нам потрібно знайти перший член $b_1$. Ми знаємо, що $b_4 = \frac{1}{27}$, і геометрична прогресія має вигляд:

$b_1, b_1 \cdot q, b_1 \cdot q^2, b_1 \cdot q^3, \ldots$

Отже, $b_4 = b_1 \cdot q^3 = \frac{1}{27}$, де $q = \frac{1}{3}$.

Розкриваємо рівняння:

$b_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27},$

$b_1 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{27},$

$b_1 = 1.$

Тепер ми маємо $b_1 = 1$ і $q = \frac{1}{3}$. Підставляємо ці значення в формулу для суми геометричної прогресії:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}.$

Отже, сума нескінченної спадної геометричної прогресії (bₙ) з заданими значеннями q = 1/3 і b₄ = 1/27 дорівнює $S = \frac{3}{2}$.