Question

Помогите пжл с алгеброй даю 50 баллов .Найдите наименьшее значение функции у = 15х – sinx + 8 на отрезке [0;π/2] .Найдите точку максимума функции у = х3 + 2х2 + х + 3 .Найдите наибольшее значение функции у = 18sinx – 9√3x + 1,5√3π + 21 на отрезке [0; π/2]

Answer 1

Ответ:

Исследование функций.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку:

1. Найдите наименьшее значение функции y = 15x – sin(x) + 8 на отрезке [0, π/2].

Для нахождения минимума функции на заданном интервале, нужно найти её критические точки (где производная равна нулю или не существует) и проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала.

Сначала найдем производную функции y = 15x – sin(x) + 8: y' = 15 - cos(x).

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 15 - cos(x) = 0 cos(x) = 15.

Однако значение косинуса не может быть больше 1 по модулю, поэтому у данной функции нет критических точек на интервале [0, π/2]. Остается проверить значения на границах интервала:

• При x = 0: y(0) = 15 * 0 - sin(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8.
• При x = π/2: y(π/2) = 15 * (π/2) - sin(π/2) + 8 = 15 * π/2 - 1 + 8 ≈ 11.712.

Самое маленькое значение функции на данном интервале равно 8, и оно достигается при x = 0.

2. Найдите точку максимума функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3.

Для нахождения максимума функции, нужно найти её критические точки путем приравнивания производной к нулю и проверить значения в этих точках.

Найдем производную функции y = x^3 + 2x^2 + x + 3: y' = 3x^2 + 4x + 1.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 + 4x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение имеет дискриминант D = 4^2 - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4. Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня: x = (-4 + √4) / (2 * 3) = -1/2 (один корень) x = (-4 - √4) / (2 * 3) = -1 (второй корень).

Теперь нужно проверить значения функции в найденных критических точках и на границах интервала [0, π/2]:

• При x = -1/2: y(-1/2) = (-1/2)^3 + 2 * (-1/2)^2 - 1/2 + 3 = -1/8 + 1/2 - 1/2 + 3 = 2.375.
• При x = -1: y(-1) = (-1)^3 + 2 * (-1)^2 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3.

Самая большая точка функции на данном интервале равна 3, и она достигается при x = -1.

3. Найдите наибольшее значение функции y = 18sin(x) – 9√3x + 1.5√3π + 21 на отрезке [0, π/2].

Для нахождения максимума функции на заданном интервале, нужно использовать те же шаги: найти критические точки, границы интервала и проверить значения.

Найдем производную функции y = 18sin(x) – 9√3x + 1.5√3π + 21: y' = 18cos(x) - 9√3.

Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 18cos(x) - 9√3 = 0, cos(x) = 1/2√3.

Значение косинуса 1/2√3 находится в интервале [0, π/2], поэтому есть одна критическая точка.

Теперь проверим значения на границах интервала:

• При x = 0: y(0) = 18sin(0) – 9√3 * 0 + 1.5√3π + 21 = 0 + 0 + 1.5√3π + 21 ≈ 36.712.
• При x = π/2: y(π/2) = 18sin(π/2) – 9√3 * (π/2) + 1.5√3π + 21 = 18 - 4.5√3π + 1.5√3π + 21 = 39.5 - 3√3π.

Самое большое значение функции на данном интервале равно 39.5 - 3√3π, и оно достигается при x = π/2.