Question

При каких значениях а неравенство x2–(a+2)x+8а+1>0 выполняется при любых значениях х? ​

Answer 1

Ответ:

По условию имеем неравенство, графиком которого является квадратичная парабола.

Коэффициент при х^1/2 положительный -

ветви параболы направлены вверх.

Каким должно быть значение параметра

а, чтобы выполнялось неравенство? Для

этого вся парабола должна находиться вы-

ше оси ОХ. Т.е. дискриминант квадратного

трехчлена должен быть <0.

Answer 2

Чтобы неравенство выполнялось при любых значениях x, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена был отрицательным. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного трехчлена.

В данном случае у нас есть квадратный трехчлен x^2 - (a+2)x + 8a + 1. Подставляя значения a, b и c в формулу дискриминанта, получаем D = (a+2)^2 - 4(8a+1).

Чтобы неравенство выполнялось при любых значениях x, необходимо, чтобы дискриминант был отрицательным. Значит, D < 0.

Выпишем и решим это неравенство:

(a+2)^2 - 4(8a+1) < 0 a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 < 0 a^2 - 28a < 0 a(a - 28) < 0

Теперь нужно определить интервалы значений a, при которых неравенство a(a - 28) < 0 выполняется. Для этого рассмотрим знаки выражения a(a - 28) на числовой прямой:

luaCopy code
 -∞       0       28       +∞
  ----------------------------------------

a(a - 28) | + | - | + |

Таким образом, неравенство a(a - 28) < 0 выполняется при 0 < a < 28.

Итак, при значениях a в интервале 0 < a < 28 неравенство x^2 - (a+2)x + 8a + 1 > 0 выполняется при любых значениях x.