Question

Дробь становится 2/9, когда 1 вычитается из числителя, а ее знаменатель удваивается. Становится 3/4, когда числитель утраивается, а 11 добавляется к знаменателю. Найти дробь.

Answer 1

Обозначим искомую дробь как $\dfrac{a}{b}$. Из условия можем составить два уравнения:

$\begin{cases}\dfrac{a-1}{2b}=\dfrac{2}{9}\\\\\dfrac{3a}{b+11}=\dfrac 34\end{cases}$

$\begin{cases}9(a-1)=2 \cdot 2b \\ 3a \cdot 4=3(b+11) \end{cases}\\\begin{cases}9a-9=4b \\ 12a=3b+33 \end{cases}\\\begin{cases}9a-4b=9\\4a-b=11\end{cases}$

Выразим из второго уравнения $b$ и подставим в первое:

$b=4a-11\\9a-4(4a-11)=9\\9a-16a+44=9\\-7a=-35\\7a=35\\a=5\\b=4a-11=4 \cdot 5-11=9$

Ответ: $\dfrac{5}{9}$.

Answer 2

Пусть искомая дробь имеет числитель $x$ и знаменатель $y$.

Из первого условия у нас есть уравнение: $\frac{x - 1}{2y} = \frac{2}{9}$.

Из второго условия у нас есть уравнение: $\frac{3x}{y + 11} = \frac{3}{4}$.

Мы можем решить эту систему уравнений для $x$ и $y$. Давайте начнем с первого уравнения:

$\frac{x - 1}{2y} = \frac{2}{9}$.

Перекрестное умножение дает:

$9(x - 1) = 2(2y)$, $9x - 9 = 4y$.

Теперь второе уравнение:

$\frac{3x}{y + 11} = \frac{3}{4}$.

Перекрестное умножение:

$4(3x) = 3(y + 11)$, $12x = 3y + 33$, $4x = y + 11$.

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 9x - 9 = 4y \\ 4x = y + 11 \end{cases}$.

Мы можем решить второе уравнение относительно $y$:

$y = 4x - 11$.

Подставляя это значение $y$ в первое уравнение:

$9x - 9 = 4(4x - 11)$, $9x - 9 = 16x - 44$, $7x = 35$, $x = 5$.

Теперь мы можем найти $y$:

$y = 4x - 11 = 4 \cdot 5 - 11 = 20 - 11 = 9$.

Итак, искомая дробь - это $\frac{5}{9}$.