Question

Розв'яжіть рівняння методом заміни змінної б) (х-3)^4-5(х-3)^2+4=0.

Answer 1

$(x - 3) {}^{4} - 5(x - 3) {}^{2} + 4 = 0 \\ \\ y = (x - 3) {}^{2} \\ y {}^{2} - 5y + 4 = 0 \\ y_{1} + y_{2} = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: y_{1} = 1 \\ y_{1} y_{2} = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_{2} = 4 \\ \\ (x - 3) {}^{2} = 1 \\ (x - 3) {}^{2} - 1 = 0 \\ (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = 0 \\ (x - 4)(x - 2) = 0 \\ x - 4 = 0 \\ x _{1} = 4 \\ x - 2 = 0 \\x _{2} = 2 \\ \\ (x - 3) {}^{2} = 4 \\ (x - 3) {}^{2} - 4 = 0 \\ (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = 0 \\ (x - 5)(x - 1) = 0 \\ x - 5 = 0 \\ x _{3} = 5 \\ x - 1 = 0 \\ x _{4} = 1 \\ \\ Ответ: \: 1 \: ; \: 2\: ; \:4\: ; \:5$

Answer 2

Щоб розв'язати це рівняння методом заміни змінної, зробимо заміну $u = (x-3)^2$. Позначимо $u = (x-3)^2$, тоді ми отримуємо:

$u^2 - 5u + 4 = 0$.

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Його можна факторизувати наступним чином:

$(u-4)(u-1) = 0$.

Отже, маємо два можливі значення для $u$:

1. $u-4 = 0$, тобто $u = 4$.
2. $u-1 = 0$, тобто $u = 1$.

Тепер підставимо значення $u$ назад у вираз для $u$:

1. $u = (x-3)^2 = 4$. Це дає два рішення: $x-3 = \pm 2$, або $x = 3 \pm 2$. Таким чином, ми отримуємо два розв'язки: $x_1 = 5$ і $x_2 = 1$.

2. $u = (x-3)^2 = 1$. Це дає ще два рішення: $x-3 = \pm 1$, або $x = 3 \pm 1$. Отже, ми отримуємо ще два розв'язки: $x_3 = 4$ і $x_4 = 2$.

Отже, рівняння $(x-3)^4 - 5(x-3)^2 + 4 = 0$ має чотири розв'язки: $x_1 = 5$, $x_2 = 1$, $x_3 = 4$, $x_4 = 2$.