Question

Даны цифры 1, 2, 5, 8, 9. Определите, сколько 4-значных чисел можно составить из них без повторений при условии, что все составленные числа должны быть меньше 5000

Answer 1

Всего из данных цифр можно составить $A_5^4=\frac{5!}{(5-4)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1!}=120$ четырехзначных чисел без повторений.

Среди этих чисел любое, начинающееся цифрой 5, 8 или 9, будет больше 5000. Поэтому из 120 нужно вычесть кол-во таких четырехзначных чисел, у которых первая цифра равна 5, 8 или 9. Чисел, у которых первая цифра равна 5, всего $A_4^3 =\frac{4!}{(4-3)!}=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1!}=24$

Аналогично и для чисел, начинающихся цифрами 8 и 9 - их тоже по 24.

Итак, искомое число чисел равно 120 - 24 - 24 - 24 = 48.

ОТВЕТ: 48.

Answer 2

Для определения количества 4-значных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 5, 8 и 9 без повторений и с условием, что числа должны быть меньше 5000, нужно разбить задачу на несколько частей.

1. Подсчет количества чисел с первой цифрой 1:

   • Вторая цифра может быть одной из оставшихся четырех цифр (2, 5, 8, 9) - 4 варианта.
   • Третья цифра может быть одной из оставшихся трех цифр (из пятёрки) - 3 варианта.
   • Четвертая цифра может быть одной из двух оставшихся цифр (8 и 9) - 2 варианта. Итого: 4 * 3 * 2 = 24 числа с первой цифрой 1.

2. Подсчет количества чисел с первой цифрой 2:

   • Вторая цифра может быть одной из оставшихся четырех цифр (1, 5, 8, 9) - 4 варианта.
   • Третья цифра может быть одной из оставшихся трех цифр (из пятёрки) - 3 варианта.
   • Четвертая цифра может быть одной из двух оставшихся цифр (8 и 9) - 2 варианта. Итого: 4 * 3 * 2 = 24 числа с первой цифрой 2.

3. Подсчет количества чисел с первой цифрой 5:

   • Вторая цифра может быть одной из оставшихся трех цифр (1, 2, 8) - 3 варианта.
   • Третья цифра может быть одной из оставшихся двух цифр (8 и 9) - 2 варианта.
   • Четвертая цифра может быть только одной оставшейся цифрой (9) - 1 вариант. Итого: 3 * 2 * 1 = 6 чисел с первой цифрой 5.

4. Подсчет количества чисел с первой цифрой 8:

   • Вторая цифра может быть одной из оставшихся трех цифр (1, 2, 9) - 3 варианта.
   • Третья цифра может быть только одной оставшейся цифрой (9) - 1 вариант.
   • Четвертая цифра может быть только одной оставшейся цифрой (2) - 1 вариант. Итого: 3 * 1 * 1 = 3 числа с первой цифрой 8.

5. Подсчет количества чисел с первой цифрой 9:

   • Вторая цифра может быть только одной оставшейся цифрой (2) - 1 вариант.
   • Третья цифра может быть только одной оставшейся цифрой (5) - 1 вариант.
   • Четвертая цифра может быть только одной оставшейся цифрой (8) - 1 вариант. Итого: 1 * 1 * 1 = 1 число с первой цифрой 9.

Итак, общее количество 4-значных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, равно: 24 (с 1 в начале) + 24 (с 2 в начале) + 6 (с 5 в начале) + 3 (с 8 в начале) + 1 (с 9 в начале) = 58 чисел.