Question

F(x)=x^3/3-x^2-3x+1 Решите пожалуйста подробно на листочке Нужно найти точки экстреума y=f(x)и определите характер функции​

Answer 1

$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+1\\\\f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\; \; ,\; \; x_1=-1\; ,\; x_2=3\\\\znaki\; f'(x):\; \; \; +++(-1)---(3)+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \; \; \; \nearrow\; \; \; (-1)\; \; \; \, \searrow \; \; \; (3)\; \; \; \nearrow \\\\f(x)\; \; vozrastaet:\; \; x\in (-\infty ;-1\, ]\; \; \; i\; \; \; x\in [\, 3;+\infty )\\\\f(x)\; \; ybuvaet ;\; \; \; x\in [-1\, ;\, 3\; ]\\\\x_{max}=-1\; ,\; \; x_{min}=3\\\\y(-1)=\frac{8}{3}\; \; ,\; \; y(3)=-8$

$tochka\; \; max\; \; (-1;\frac{8}{3})\; \; ,\; \; tochka\; min\; \; (3;-8)$

Answer 2

Для решения этой задачи поиска экстремумов и определения характера функции, нам понадобится вычислить производную функции F(x) и найти её корни.

1. Найдём производную функции F(x): F'(x) = d/dx (x^3/3 - x^2 - 3x + 1) F'(x) = (1/3)(d/dx(x^3) - d/dx(x^2) - d/dx(3x) + d/dx(1)) F'(x) = (1/3)(3x^2 - 2x - 3)

2. Решим уравнение F'(x) = 0 для нахождения критических точек (точек, где производная равна нулю): (1/3)(3x^2 - 2x - 3) = 0 3x^2 - 2x - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или факторизации. Для упрощения расчетов воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-2)^2 - 4(3)(-3) D = 4 + 36 D = 40

Дискриминант равен 40, что означает, что уравнение имеет два различных корня.

3. Найдём корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (-(-2) + √40) / (2(3)) x1 = (2 + 2√10) / 6 x1 = (1 + √10) / 3

x2 = (-(-2) - √40) / (2(3)) x2 = (2 - 2√10) / 6 x2 = (1 - √10) / 3

Таким образом, мы нашли две критические точки x1 = (1 + √10) / 3 и x2 = (1 - √10) / 3.

4. Чтобы определить характер функции F(x) в этих точках, проведём анализ знаков производной F'(x) на интервалах между и за пределами критических точек.

Для этого построим таблицу знаков:

x	(1/3)(3x^2 - 2x - 3)
(-∞, x1)	-
x1	0
(x1, x2)	+
x2	0
(x2, +∞)	-

Из таблицы видно, что на интервале (-∞, x1) функция F(x) убывает, на интервале (x1, x2) возрастает, а на интервале (x2, +∞) снова убывает.

Теперь определим характер функции в каждой из критических точек:

• В точке x1 = (1 + √10) / 3 функция имеет локальный минимум.
• В точке x2 = (1 - √10) / 3 функция имеет локальный максимум.

Таким образом, у нас есть две критические точки: одна точка экстремума (локальный минимум) и одна точка экстремума (локальный максимум).